知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．椭圆 $%20%5Cfrac%20%7B%C2%A0x%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，右焦点到直线 $x%2By%2B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%3D0$ 的距离为 $2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l交x轴于N， $%20%5Coverrightarrow%20%7BNA%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B5%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BNB%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较易

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2．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是上底面A₁C₁的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
（1） $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ - $%20%5Coverrightarrow%20%7BC_%7B1%7DC%7D$ ；
（2） $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ $%20%5Coverrightarrow%20%7BDA%7D$ - $%20%5Coverrightarrow%20%7BA_%7B1%7DA%7D$ ．

难度：易

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3．设△ABC是边长为4的正三角形，点P₁，P₂，P₃，四等分线段BC（如图所示）
（1）P为边BC上一动点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BPC%7D$ 的取值范围？
（2）Q为线段AP₁上一点，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAQ%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B12%7D$ $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ ，求实数m的值．

难度：较易

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4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|=|OA|，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 $%20%5Coverrightarrow%20%7BTA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BTP%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7BTQ%7D$ ，求实数t的取值范围．

难度：较易

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5．圆M：x²+y²-2y=24，直线l：x+y=11，l上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l₁，l₂，切点为B，C．
（Ⅰ）当a=0时，求直线l₁，l₂的方程；
（Ⅱ）是否存在点A，使得 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ =-2？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）求证当点A在直线l运动时，直线BC过定点P₀．
（附加题）问：第（Ⅲ）问的逆命题是否成立？

难度：中等

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6．平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使得我们可以用向量作为解析几何的研究工具，例如，设直线l的倾斜角α（α≠90°），在l上任取两个不同的点P₁（x₁，y₂），P₂（x₂，y₂），不妨设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BP_%7B1%7DP_%7B2%7D%7D$ 的方向是向上的，那么向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BP_%7B1%7DP_%7B2%7D%7D$ 的坐标为（x₂-x₁，y₂-y₁），过原点作向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7BP_%7B1%7DP_%7B2%7D%7D$ ，则点P的坐标是（x₂-x₁，y₂-y₁），而直线OP的倾斜角也是α（α≠90°），根据正切函数的定义得k=tanα= $%20%5Cfrac%20%7By_%7B2%7D-y_%7B1%7D%7D%7Bx%C2%A0_%7B2%7D-x_%7B1%7D%7D$ ；利用向量工具研究下列直线Ax+By+C=0，（ABC≠0）有关问题；
（1）、判断向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（A，B）与直线Ax+By+C=0的关系，并说明理由；
（2）、直线A₁x+B₁y+C₁=0与直线A₂x+B₂y+C₂=0相交，求两直线夹角的余弦值；
（3）、用向量知识推导点P₀（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0，（ABC≠0）的距离公式．

难度：中等

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7．给定两个长度为1的平面向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ 和 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，它们的夹角为120°．
（1）求| $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ |；
（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 $%20%5Chat%20AB$ 上变动．若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =x $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ +y $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，其中x，y∈R，求x+y的最大值？

难度：较易

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8．已知点P是圆F₁：（x+1）²+y²=8上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =0（O为坐标原点），求直线l的方程．

难度：较易

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9．已知直线L：x=my+1过椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（1）若抛物线x²=4 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D$ =λ₁ $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ =λ₂ $%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ ，当m变化时，求λ₁+λ₂的值．

难度：中等

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10．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ =（2，-3）， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =（-5，4）， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =（1-λ，3λ+2）．
（Ⅰ）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值；
（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．

难度：较易

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