知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•青浦区一模）如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，-1）点，5在（0，-1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字（2n+1）²，n∈N^*的整点坐标是．

难度：较难

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2．（2015秋•上饶校级期末）如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为
2
2
，则最小正方形的边长为．

难度：中等

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3．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是．

难度：中等

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4．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第号座位上．

难度：较难

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5．已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*) 经计算得f（2）=
3
2
，f(4)＞2，f(8)＞
5
2
，f(16)＞3，f(32)＞
7
2

，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为．

难度：较易

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6．观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a⁸+b⁸= ．

难度：中等

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7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第10个图中有个点．

难度：中等

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8．（2015秋•岳阳校级期中）如图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为
1
n
（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
1
1
=
1
2
+
1
2
，=
1
2
=
1
3
+
1
6
，
1
3
=
1
4
+
1
12
，…，
则（1）第6行第2个数（从左往右数）为；
（2）第n行第3个数（从左往右数）为．

难度：较难

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9．如图三角形数阵满足：
（1）第n行首尾两数均为n；
（2）图中的递推关系类似于杨辉三角．
则第n（n≥2）行第2个数是，第n行的和是．

难度：较易

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10．设1的立方虚根ω=-
1
2
+
3
2
i，ϖ=-
1
2
-
3
2
i．
（1）试求ω¹，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵，ω⁶，由此推断ωⁿ（n∈N^*）规律，并把这个规律用式子表示出来．
（2）在等比数列{ω_n}中，若ω₁=1，ω₂=-
1
2
+
3
2
i，根据（1）的规律计算：ω₁+ω₂+…+ω₁₂的值；
（3）已知n∈N^*，f（n）=（-
1
2
+
3
2
i）ⁿ+（-
1
2
-
3
2
i）ⁿ，试化解集合A={f（n）}．

难度：中等

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