知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．考察下列等式：
cos
π
4
+isin
π
4
=a₁+b₁i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）²=a₂+b₂i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）³=a₃+b₃i，
…
（cos
π
4
+isin
π
4
）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数，由归纳可得，a₂₀₁₅+b₂₀₁₅的值为．

难度：中等

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2．（2014秋•亭湖区校级期中）把正偶数数列{2n}的数按上小下大，左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表，设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数（如a₄₂=16），若a_mn=2012，则
m
n
= ．

难度：中等

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3．已知a₁=
1
4
（1-
1
3
），a₂=
1
4
（
1
3
-
1
5
），a₃=
1
4
（
1
5
-
1
7
），a₄=
1
4
（
1
7
-
1
9
），…，以此类推a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀₈的值为．

难度：中等

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4．如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行、第j列的数为a_i，j（i≥j，I，j∈N^*），则a_5，j= ，a_i，5= ．

难度：中等

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5．如图所示的数阵，第n行最右边的数是．

难度：中等

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6．数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+2²+…+2^n-1，…的前n项和S_n= ．

难度：中等

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7．已知2+
2
3
=22×
2
3
， 3+
3
8
=32×
3
8
， 4+
4
15
=42×
4
15
， …，若9+
a
b
=9²+
a
b
（a，b为正整数）则a+b= ．

难度：中等

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8．观察下列等式：
12
1×3
=
1
3
，
12
1×3
+
22
3×5
=
3
5
，
12
1×3
+
22
3×5
+
32
5×7
=
6
7
，
12
1×3
+
22
3×5
+
32
5×7
+
42
7×9
=
10
9
．
…
根据以上等式，可猜想出第n个等式为．

难度：中等

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9．对于中心在原点，离心率也相同的n个椭圆，其方程分别为：C₁：
x2
a2
+
y2
λ2a2
=1（0＜λ＜1，a＞0），C₂：
x2
λ2a2
+
y2
λ4a2
=1，…，C_n：
x2
λ2(n-1)a2
+
y2
λ2na2
=1，即第i个椭圆的短轴的等于第i+1个椭圆的长轴，则称这n个椭圆为相似椭圆系，并称λ为此相似椭圆系的相似比，若椭圆C₁的方程为
x2
16
+
y2
8
=1，则第3个椭圆C₃的方程为．

难度：中等

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10．已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第58个数对是．

难度：中等

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