知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．（1）在Rt ABC 中，CA CB，斜边AB 上的高为 h，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bh%5E%7B2%7D%7D$ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BCA%5E%7B2%7D%7D$ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BCB%5E%7B2%7D%7D$ ，类比此性质，如图，在四面体 PABC中，若 PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为 h，可猜想得到的结论为 ______ ．
（2）证明（1）问中得到的猜想．

难度：较易

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2．已知 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bax%7D%7Ba%2Bx%7D%28x%E2%89%A0-a%29$ ，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1， $a_%7Bn%2B1%7D%3Df%28a_%7Bn%7D%29%EF%BC%8C%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．

难度：中等

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3．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B1%2Ba_%7Bn%7D%7D$ （n∈N₊），
（1）计算a₂、a₃、a₄并由此猜想通项公式a_n；
（2）证明（1）中的猜想．

难度：较易

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4．某民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．先按照同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（6）的值；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．

难度：易

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5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形

（1）求f（6）的值
（2）求出f（n）的表达式
（3）求证：当n≥2时， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bf%281%29%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bf%282%29-1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bf%283%29-1%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bf%28n%29-1%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．

难度：较易

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6．已知数列{a_n}的通项公式a_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%28n%2B1%29%5E%7B2%7D%7D$ （n∈N^*），记b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试通过计算b₁，b₂，b₃的值，推测出{b_n}的通项公式．

难度：较易

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7．观察下列三角形数表：

假设第n行的第二个数为 $a_%7Bn%7D%28n%E2%89%A52%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，
（1）归纳出a_n+1与a_n的关系式，并求出a_n的通项公式；
（2）设a_nb_n=1（n≥2），求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

难度：较易

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8．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r_i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C_j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r₁（A）|，|R₂（A）|，…，|Rm（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
（2）设数表A∈S（2，3）形如
1 1 c
a b -1
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

难度：较难

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9．计算： $%20%5Csqrt%20%7B2%7D-1%E2%89%880.414%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D-%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ≈0.318；∴ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D-1%EF%BC%9E%20%5Csqrt%20%7B3%7D-%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ；又计算： $%20%5Csqrt%20%7B5%7D-2%E2%89%880.236%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B6%7D-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%E2%89%880.213%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B7%7D-%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ≈0.196，∴ $%20%5Csqrt%20%7B5%7D-2%EF%BC%9E%20%5Csqrt%20%7B6%7D-%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ， $%20%5Csqrt%20%7B6%7D-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%EF%BC%9E%20%5Csqrt%20%7B7%7D-%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ．
（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题．
（2）判断该命题的真假，并给出证明．

难度：易

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10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2B1%7D$ ．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

难度：较易

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