知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
在计算“\(1×2+2×3+…+n(n+1)\)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第\(k\)项：\(k(k+1)= \dfrac {1}{3}[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]\)由此得
\(1×2= \dfrac {1}{3}(1×2×3-0×1×2)\)，
\(2×3= \dfrac {1}{3}(2×3×4-1×2×3)\)
\(…\)
\(n(n+1)= \dfrac {1}{3}[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]\)
相加，得\(1×2+2×3+…+n(n+1)= \dfrac {1}{3}n(n+1)(n+2)\)
类比上述方法，请你计算“\(1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)\)”，

其结果为 ______ ．

难度：中等

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2．

类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，\(S(x)= \dfrac {a^{x}-a^{-x}}{2}\)，\(C(x)= \dfrac {a^{x}+a^{-x}}{2}\)，其中\(a > 0\)，且\(a\neq 1\)，下面正确的运算公式是\((\)　　\()\)
\(①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)\)；
\(②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y)\)；
\(③C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y)\)；
\(④C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y)\)．

A．\(①②\)

B．\(②④\)

C．\(①④\)

D．\(①②③④\)

难度：中等

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3．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}= \dfrac {1}{(n+1)^{2}}\)，记\(f(n)=(1-a_{1})(1-a_{2})(1-a_{3})…(1-a_{n})\)，通过计算\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)的值，猜想\(f(n)\)的值为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {2n-1}{(n+1)^{2}}\)

B．\( \dfrac {n+2}{n(n+1)}\)

C．\( \dfrac {n+2}{n+1}\)

D．\( \dfrac {n+2}{2(n+1)}\)

难度：较易

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4．

已知整数按如下规律排成一列：\((1,1)\)，\((1,2)\)，\((2,1)\)，\((1,3)\)，\((2,2)\)，\((3,1)\)，\((1,4)\)，\((2,3)\)，\((3,2)\)，\((4,1)\)，\(…\)，则第\(70\)个数对是\((\)　　\()\)

A．\((2,11)\)

B．\((3,10)\)

C．\((4,9)\)

D．\((5,8)\)

难度：中等

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5．

式子\(σ(a,b,c)\)满足\(σ(a,b,c)=σ(b,c,a)=σ(c,a,b)\)，则称\(σ(a,b,c)\)为轮换对称式\(.\)给出如下三个式子：\(①σ(a,b,c)=abc\)； \(②σ(a,b,c)=a^{2}-b^{2}+c^{2}\)； \(③σ(A,B,C)=\cos C⋅\cos (A-B)-\cos ^{2}C(A,B,C\)是\(\triangle ABC\)的内角\().\)其中，为轮换对称式的个数是\((\)　　\()\)

A．\(0\)

B．\(1\)

C．\(2\)

D．\(3\)

难度：中等

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6．
在\(\triangle ABC\)中，\(D\)为\(BC\)的中点，则\( \overrightarrow{AD}= \dfrac {1}{2}( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC})\)将命题类比到空间：在三棱锥\(A-BCD\)中，\(G\)为\(\triangle BCD\)的重心，则 ______ ．

难度：中等

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7．
已知一元二次方程根与系数的关系如下：设\(x_{1}\)，\(x_{2}\)是关于\(x\)方程\(x^{2}+bx+c=0\)的根，则\(x_{1}+x_{2}=-b\)，\(x_{1}⋅x_{2}=c\)．
\((\)Ⅰ\()\)若\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)是一元三次方程\((x-1)(x^{2}-3x-4)=0\)的根，求\(x_{1}+x_{2}+x_{3}\)和\(x_{1}⋅x_{2}⋅x_{3}\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)是一元三次方程\(x^{3}+bx^{2}+cx+d=0\)的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想\(x_{1}+x_{2}+x_{3}\)和\(x_{1}⋅x_{2}⋅x_{3}\)与系数的关系，并加以证明．

难度：较易

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8．

下列推理中属于归纳推理且结论正确的是\((\)　　\()\)

A．由\(a_{n}=2n-1\)，求出\(S_{1}=1^{2}\)，\(S_{2}=2^{2}\)，\(S_{3}=3^{2}\)，\(…\)，推断：数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}\)

B．由\(f(x)=x\cos x\)满足\(f(-x)=-f(x)\)对\(∀x∈R\)都成立，推断：\(f(x)=x\cos x\)为奇函数

C．由圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)的面积\(S=πr^{2}\)，推断：椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)的面积\(S=πab\)

D．由\((1+1)^{2} > 2^{1}\)，\((2+1)^{2} > 2^{2}\)，\((3+1)^{2} > 2^{3}\)，\(…\)，推断：对一切\(n∈N^{*}\)，\((n+1)^{2} > 2^{n}\)

难度：中等

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9．

有三张卡片，分别写有\(1\)和\(2\)，\(1\)和\(3\)，\(2\)和\(3\)，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是\(2\)”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是\(1\)”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是\(5\)”，则甲的卡片上没有的数字是\((\)　　\()\)

A．不确定

B．\(3\)

C．\(2\)

D．\(1\)

难度：易

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10．

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性\((\)　　\()\)