知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2017•山东模拟）德国数学家莱布尼兹发现了右面的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形：根据前6行的规律，写出第7行的第3个数是．

难度：较易

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2．（2016•南开区模拟）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为a_i^j，则数表中的2015应记为．

难度：较难

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3．观察下列各式（如图）：

照此规律，当n∈N^*时，1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n+1)2
＜．

难度：较易

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4．（2016•江苏模拟）设数列{a_n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a₁，第二层两个数a₂和a₃，第三层三个数a₄，a₅和a₆，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a₁=a₂+a₃，a₂=a₄+a₅，a₃=a₅+a₆，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a₁为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a₁为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？

难度：中等

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5．考察下列等式：
cos
π
4
+isin
π
4
=a₁+b₁i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）²=a₂+b₂i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）³=a₃+b₃i，
…
（cos
π
4
+isin
π
4
）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数，由归纳可得，a₂₀₁₅+b₂₀₁₅的值为．

难度：中等

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6．（1）计算：C

2013
2014
+A

3
5
；
（2）观察下面一组组合数等式：C

1
n
=nC

0
n-1
；2C

2
n
=nC

1
n-1
；3C

3
n
=nC

2
n-1
；…由以上规律，请写出第k（k∈N^*）个等式并证明．

难度：中等

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7．已知S₁=1•C₁⁰+2•C₁¹=3×2⁰S₂=1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²=4×2S₃=1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³=5×2²…类比推理得出的一般结论是：S_n=1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+n•C_nⁿ= ．

难度：中等

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8．随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数．陈成在学习中发现由41，43，47，53，61，71，83，97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数．请你写出这个通项公式，
从这个通项公式举出一个反例，说明陈成的说法是错误的：．

难度：较难

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9．观察下表：

设第n行的各数之和为S_n，则
lim
n→∞
Sn
n
2

= ．

难度：中等

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10．（2007•咸安区校级模拟）对大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图方式的“分裂”：仿此，6²的“分裂”中最大的数是．若m³的“分裂”中有一个数是35，则m的值为．

难度：较难

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