知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

类比实数的运算性质猜想复数的运算性质：
\(①\)“\(mn=nm\)”类比得到“\(z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}\)”；
\(②\)“\(|m⋅n|=|m|⋅|n|\)”类比得到“\(|z_{1}⋅z_{2}|=|z_{1}|⋅|z_{2}|\)”；
\(③\)“\(|x|=1⇒x=±1\)”类比得到“\(|z|=1⇒z=±1\)”
\(④\)“\(|x|^{2}=x^{2}\)”类比得到“\(|z|^{2}=z^{2}\)”
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\(3\)

D．\(0\)

难度：较难

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2．
观察下列等式
\((1+x+x^{2})^{1}=1+x+x^{2}\)，
\((1+x+x^{2})^{2}=1+2x+3x^{2}+2x^{3}+x^{4}\)，
\((1+x+x^{2})^{3}=1+3x+6x^{2}+7x^{3}+6x^{4}+3x^{5}+x^{6}\)，
\((1+x+x^{2})^{4}=1+4x+10x^{2}+16x^{3}+19x^{4}+16x^{5}+10x^{6}+4x^{7}+x^{8}\)，
\(…\)
若\((1+x+x^{2})^{6}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{12}x^{12}\)，则\(a_{2}=\) ______ ．

难度：较易

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3．
\((1)\)在\(Rt\) \(ABC\) 中，\(CA\) \(CB\)，斜边\(AB\) 上的高为 \(h\)，则\( \dfrac {1}{h^{2}}\) \( \dfrac {1}{CA^{2}}\) \( \dfrac {1}{CB^{2}}\)，类比此性质，如图，在四面体 \(PABC\)中，若 \(PA\)，\(PB\)，\(PC\)两两垂直，底面\(ABC\)上的高为 \(h\)，可猜想得到的结论为 ______ ．
\((2)\)证明\((1)\)问中得到的猜想．

难度：较易

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4．

把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，\(…\)循环分为：\((3)\)，\((5,7)\)，\((9,11,13)\)，\((15,17,19,21)\)，\(…\)，则第\(104\)个括号内各数之和为\((\)　　\()\)

A．\(2036\)

B．\(2048\)

C．\(2060\)

D．\(2072\)

难度：难

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5．
黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第\(n\)个图案中有白色地面砖的块数是 ______ ．

难度：较易

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6．

在平面几何中有如下结论：正三角形\(ABC\)的内切圆面积为\(S_{1}\)，外接圆面积为\(S_{2}\)，则\( \dfrac{{S}_{1}}{{S}_{2}} = \dfrac {1}{4}\)，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体\(D-ABC\)的内切球体积为\(V_{1}\)，外接球体积为\(V_{2}\)，则 \( \dfrac{{V}_{1}}{{V}_{2}} =(\)　　\()\)

A．\( \dfrac {1}{8}\)

B．\( \dfrac {1}{9}\)

C．\( \dfrac {1}{27}\)

D．\( \dfrac {1}{64}\)

难度：难

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7．

正整数按下表的规律排列\((\)下表给出的是上起前\(4\)行和左起前\(4\)列\()\)则上起第\(2015\)行，左起第\(2016\)列的数应为\((\)　　\()\)

A．\(2015^{2}\)

B．\(2016^{2}\)

C．\(2015+2016\)

D．\(2015×2016\)

难度：较易

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8．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{1}=1,S_{n}=n^{2}a_{n}(n∈N_{+})\)
\((1)\)试求出\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)，并猜想\(S_{n}\)的表达式；
\((2)\)证明你的猜想，并求出\(a_{n}\)的表达式．

难度：较易

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