知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．观察下列三角形数表：

假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)，
（1）归纳出a_n+1与a_n的关系式，并求出a_n的通项公式；
（2）设a_nb_n=1（n≥2），求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

难度：中等

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2．观察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，则7²⁰¹⁷的末两位数字为．

难度：中等

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3．设n为正整数，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，计算得f（2）=
3
2
，f（4）＞2，f（8）＞
5
2
，f（16）＞3，观察上述结果，按照上面规律，可以推测f（1024）＞．

难度：较易

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4．观察下列等式：
1³=1，
1³+2³=9，
1³+2³+3³=36，
1³+2³+3³+4³=100
…
猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³= （n∈N^*）．

难度：中等

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5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

难度：中等

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6．已知f(x)=
ax
a+x
(x≠-a)，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1，an+1=f(an)，(n∈N*)，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．

难度：较难

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7．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，则它的对称中心为；计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)= ．

难度：较难

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8．设A是m阶方阵，定义运算：A•A=A²，Aⁿ⁺¹=A^n_•A（n∈N^*），称这一运算为矩阵的乘方．显然矩阵的乘方满足：对任意的m，n∈N^*，A^m•Aⁿ=A^m+n，设A=
1 1
0 1
，计算A²，A³，A⁴，并对一切正整数n，猜想Aⁿ= ．

难度：中等

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9．随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数．陈成在学习中发现由41，43，47，53，61，71，83，97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数．请你写出这个通项公式，
从这个通项公式举出一个反例，说明陈成的说法是错误的：．

难度：较难

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10．（2007•咸安区校级模拟）对大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图方式的“分裂”：仿此，6²的“分裂”中最大的数是．若m³的“分裂”中有一个数是35，则m的值为．

难度：较难

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