知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁=
1
2
，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

难度：较易

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2．设f（1）=2，f（n）＞0（n∈N₊），且f（n₁+n₂）=f（n₁）f（n₂）
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）猜想f（n）的解析式；
（3）证明你的猜想．

难度：较难

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3．在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设b_k=
1
qk-1
．
（1）若d₁=2，求a₂的值；
（2）求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）若q₁=2，设c_n=
bn
bn+1
，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比数列，若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．猜想
11…1
2n个
-
22…2
n个
（n∈N^*）的值．

难度：中等

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5．（1）在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
2an
2+an
，n∈N^*．猜想这个数列的通项公式．
（2）已知正项数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=
1
2
（a_n+
1
an
）（n∈N^*），求出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式．

难度：较易

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6．晚自习结束后，几位同学在一起讨论问题，小李看到小杨把三角等式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ错写成了cos（α+β）=cosα-sinβ．爱思考的他给大家提出了以下几个问题：
（1）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定成立吗？请说明理由；
（2）等式cos（α+β）=cosα-sinβ一定不成立吗？请说明理由；
（3）等式cos（α+β）=cosα-sinβ何时成立？请说明理由．
经过一番热烈的讨论后，熄灯前几位同学得出了一致的结论，结束了讨论，现在，请你也来试一试吧!

难度：中等

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7．观察等式sin20°+sin24°+sin20°•sin40°=
3
4
；sin²28°+sin²32°+sin28°•sin32°=
3
4
；请写出一个与以上两个等式规律相同的等式．

难度：中等

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8．构造数组，规则如下：第一组是两个1，即（1，1），第二组是（1，2a，1），第三组是（1，a（1+2a），2a，a（2a+1），1）…，在每一组的相邻两个数组之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈（0，
1
4
），设第n组有a_n个数，且这a_n个数的和为S_n（n∈N^*）．
（1）求a_n和S_n；
（2）求证：
a1-1
S1
+
a2-1
S2
+…+
an-1
Sn
≥
n
2
．

难度：中等

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9．如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A₁B₁C₁D₁；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形A₂B₂C₂D₂；如此无限继续下去，设各正方形的边长依大小顺序构成数列{a_n}．
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，请说明理由；并求出所有正方形的周长之和．

难度：中等

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10．依次计算数列：（1-
1
4
），（1-
1
4
）（1-
1
9
），（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
），（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）（1-
1
25
），…的前4项的值，由此猜想（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）（1-
1
25
）…（1-
1
(n+1)2
）（n∈N^*）的结果，并用数字归纳法加以证明．

难度：中等

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