知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇\(.2017\)年“\(618\)”期间，某购物平台的销售业绩高达\(516\)亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系\(.\)现从评价系统中选出\(200\)次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为\(0.6\)，对服务的好评率为\(0.75\)，其中对商品和服务都做出好评的交易为\(80\)次．
\((1)\)请列出关于商品和服务评价的\(2×2\)列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过\(0.001\)的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
\((2)\)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的\(3\)次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量\(X\)．
\(①\)求对商品和服务全为好评的次数\(X\)的分布列；
\(②\)求\(X\)的数学期望和方差．

附：临界值表

\(P\)\((K^{2}\)\(\geqslant \)\(k\)\({\,\!}_{0}\)\()\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)\({\,\!}_{0}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

\(K^{2}= \dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}(\)其中\(n=a+b+c+d)\)．

难度：中等

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2．张师傅驾车从公司开往火车站，途经\(4\)个交通岗，这\(4\)个交通岗将公司到火车站分成\(5\)个路段，每个路段的驾车时间都是\(3 min\)，若遇到红灯则要停留\(1 min.\)假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是\( \dfrac{1}{3}\)．
\((1)\)求张师傅此行程所需时间不小于\(16 min\)的概率；

\((2)\)记张师傅此行程所需时间为\(Y min\)，求\(Y\)的分布列．

难度：较易

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3．

某研发公司研制出一款保护视力的护眼仪，并在某中学的甲、乙、丙、丁四个班级中试用，这四个班级人数的条形图如图所示，为了了解学生对护眼仪的使用情况，对四个班级的学生进行了问卷调查，然后按分层抽样的方法从调查问卷中抽取\(20\)份进行统计，统计结果如表所示．

\((\)Ⅰ\()\)若学生\(A\)在甲班，求学生\(A\)的调查问卷被选中的概率；

\((\)Ⅱ\()\)以这\(20\)人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校\((\)人数很多\()\)任选\(4\)人，设\(X\)表示抽到“满意”学生的人数，求\(X\)的分布列及数学期望．

难度：较易

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4．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为\(p\)，判断错误的概率为\(q\)，若判断正确则加\(1\)分，判断错误则减\(1\)分，现记“该明星答完\(n\)题后总得分为\(S_{n}\)”\(.\)
\((1)\)当\(p=q= \dfrac {1}{2}\)时，记\(ξ=|S_{3}|\)，求\(ξ\)的分布列及数学期望及方差；
\((2)\)当\(p= \dfrac {1}{3},q= \dfrac {2}{3}\)时，求\(S_{8}=2\)且\(S_{i}\geqslant 0(i=1,2,3,4)\)的概率．

难度：中等

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5．
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为\(\dfrac{2}{3}.\)现有\(10\)件产品，其中\(6\)件是一等品，\(4\)件是二等品．

\((1)\)随机选取\(1\)件产品，求能够通过检测的概率；

\((2)\)随机选取\(3\)件产品，其中一等品的件数记为\(X\)，求\(X\)的分布列．

难度：较易

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6．
现有\(10\)道题，其中\(6\)道甲类题，\(4\)道乙类题，小明同学从中任取\(3\)道题解答．

\((1)\)求小明同学至少取到\(1\)道乙类题的概率\(;\)

\((2)\)已知所取的\(3\)道题中有\(2\)道甲类题，\(1\)道乙类题，若小明同学答对每道甲类题的概率都是\(\dfrac{3}{5}\)，答对每道乙类题的概率都是\(\dfrac{4}{5}\)，且各题答对与否相互独立，求小明同学至少答对\(2\)道题的概率．

难度：中等

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7．

“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗\(.2018\)年春节前夕，\(A\)市某质检部门随机抽取了\(100\)包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．

\((1)\)求所抽取的\(100\)包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数\(\overline{x}(\)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表\()\)；

\((2)①\)由直方圆可以认为，速冻水饺的该项质量指标值\(Z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\)，利用该正态分布，求\(Z\)落在\((14.55,38.45)\)内的概率；

\(②\)将频率视为概率，若某人从某超市购买了\(4\)包这种品牌的速冻水饺，记这\(4\)包速冻水饺中这种质量指标值位于\((10,30)\)内的包数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望．
附：

\(①\)计算得所抽查的这\(100\)包速冻水饺的质量指标的标准差为\(\sigma =\sqrt{142.75}\approx 11.95\)；

\(②\)若\(Z～N(μ,σ^{2})\)，则\(P(μ-σ < Z\leqslant μ+σ)=0.6826\)，\(P(μ-2σ < Z\leqslant μ+2σ)=0.9544\)．

难度：中等

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8．
广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享\(.\)现随机抽取\(50\)位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：

幸福级别

非常幸福

幸福

不知道

不幸福

幸福指数\((\)分\()\)

\(90\)

\(60\)

\(30\)

\(0\)

人数\((\)个\()\)

\(19\)

\(21\)

\(7\)

\(3\)

\((\)Ⅰ\()\)求这\(50\)位市民幸福指数的数学期望\((\)即平均值\()\)；

\((\)Ⅱ\()\)以这\(50\)人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民\((\)人数很多\()\)任选\(3\)人，记表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数\(.\)求\(\xi \)的分布列；

\((\)Ⅲ\()\)从这\(50\)位市民中，先随机选一个人\(.\)记他的幸福指数为\(m\)，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为\(n\)，求\(n < m+60\)的概率\(P\)．

难度：较易

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9．
某商场在“五一”节期间搞促销活动，决定从\(1\)种品牌的洗衣机，\(3\)种品牌的电视机和\(2\)种品牌的电冰箱中，选出\(3\)种品牌的商品进行促销．

\((1)\)求选出的\(3\)种品牌的商品中至少有一种是电冰箱的概率；

\((2)\)该商场对选出的商品采用有奖销售的促销方案，即在该商品现价的基础上先将价格提高\(200\)元，同时，若顾客购买该商品，则允许有\(3\)次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得\(a\)元奖金，假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是_{\(\dfrac{{2}}{{3}}\)}设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额\((\)单位：元\()\)为随机变量\(\xi ,\)求\(\xi \)的分布列；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，问该商场若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

难度：中等

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10．

近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升\(.\)伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来\(.\)如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设\(30\)多个分支机构，需要国内公司外派大量\(70\)后、\(80\)后中青年员工\(.\)该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从\(70\)后和\(80\)后的员工中随机调查了\(100\)位，得到数据如表：

\((\)Ⅱ\()\)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟各安排\(6\)名参与调查的\(70\)后、\(80\)后员工参加．\(70\)后员工中有愿意被外派的\(3\)人和不愿意被外派的\(3\)人报名参加，从中随机选出\(3\)人，记选到愿意被外派的人数为\(x\)；\(80\)后员工中有愿意被外派的\(4\)人和不愿意被外派的\(2\)人报名参加，从中随机选出\(3\)人，记选到愿意被外派的人数为\(y.(\)Ⅰ\()\)根据调查的数据，是否有\(9％\)以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；

\((i)\)如果把样本频率视为概率，从\(70\)后员工中随机选取\(3\)人，求选到愿意被外派的人数的数学期望；

\((ii)\)求\(x < y\)的概率．

参考数据：	\(P({{K}^{2}} > k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)
参考数据：	\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)

参考公式：\({{K}^{2}}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^{2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d).\)

难度：中等

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0/40

进入组卷

幸福级别	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指数\((\)分\()\)	\(90\)	\(60\)	\(30\)	\(0\)
人数\((\)个\()\)	\(19\)	\(21\)	\(7\)	\(3\)