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          共50条信息

            • 1． 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
              （1）求X的分布列；
              （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）．假设α=0.5，β=0.8．
              （i）证明：{pi+1-pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列；
              （ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
              难度：较难
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            • 2． 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
              （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
              （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
              A B C D E F
              子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇
              继续教育 × × 〇 × 〇 〇
              大病医疗 × × × 〇 × ×
              住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇
              住房租金 × × 〇 × × ×
              赡养老人 〇 〇 × × × 〇
              （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
              （ii ）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
              难度：易
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            • 3．
              如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形\(.\)此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形\(ABC\)的斜边\(BC\)，直角边\(AB\)，\(AC.\triangle ABC\)的三边所围成的区域记为\(I\)，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ\(.\)在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为\(p_{1}\)，\(p_{2}\)，\(p_{3}\)，则\((\)　　\()\)
              A．\(p_{1}=p_{2}\)
              B．\(p_{1}=p_{3}\)
              C．\(p_{2}=p_{3}\)
              D．\(p_{1}=p_{2}+p_{3}\)
              难度：较难
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            • 4．
              某工厂的某种产品成箱包装，每箱\(200\)件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品\(.\)检验时，先从这箱产品中任取\(20\)件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验\(.\)设每件产品为不合格品的概率都为\(p(0 < p < 1)\)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
              \((1)\)记\(20\)件产品中恰有\(2\)件不合格品的概率为\(f(p)\)，求\(f(p)\)的最大值点\(p_{0}\)．
              \((2)\)现对一箱产品检验了\(20\)件，结果恰有\(2\)件不合格品，以\((1)\)中确定的\(p_{0}\)作为\(p\)的值\(.\)已知每件产品的检验费用为\(2\)元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付\(25\)元的赔偿费用．
              \((i)\)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为\(X\)，求\(EX\)；
              \((ⅱ)\)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
              难度：难
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            • 5．
              已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为\(24\)，\(16\)，\(16.\)现采用分层抽样的方法从中抽取\(7\)人，进行睡眠时间的调查．
              \((\)Ⅰ\()\)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
              \((\)Ⅱ\()\)若抽出的\(7\)人中有\(4\)人睡眠不足，\(3\)人睡眠充足，现从这\(7\)人中随机抽取\(3\)人做进一步的身体检查．
              \((i)\)用\(X\)表示抽取的\(3\)人中睡眠不足的员工人数，求随机变量\(X\)的分布列与数学期望；
              \((ii)\)设\(A\)为事件“抽取的\(3\)人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件\(A\)发生的概率．
              难度：较易
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            • 6．
              己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为\(240\)，\(160\)，\(160.\)现采用分层抽样的方法从中抽取\(7\)名同学去某敬老院参加献爱心活动．
              \((\)Ⅰ\()\)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
              \((\)Ⅱ\()\)设抽出的\(7\)名同学分别用\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)，\(G\)表示，现从中随机抽取\(2\)名同学承担敬老院的卫生工作．
              \((i)\)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
              \((ii)\)设\(M\)为事件“抽取的\(2\)名同学来自同一年级”，求事件\(M\)发生的概率．
              难度：较易
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            • 7． 口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．
              （1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；
              （2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．
              难度：较易
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            • 8．
              在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有\(6\)名男志愿者\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，\(A_{3}\)，\(A_{4}\)，\(A_{5}\)，\(A_{6}\)和\(4\)名女志愿者\(B_{1}\)，\(B_{2}\)，\(B_{3}\)，\(B_{4}\)，从中随机抽取\(5\)人接受甲种心理暗示，另\(5\)人接受乙种心理暗示．
              \((\)Ⅰ\()\)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含\(A_{1}\)但不包含\(B_{1}\)的概率．
              \((\)Ⅱ\()\)用\(X\)表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求\(X\)的分布列与数学期望\(EX\)．
              难度：较易
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            • 9．
              从甲地到乙地要经过\(3\)个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为\( \dfrac {1}{2}\)，\( \dfrac {1}{3}\)，\( \dfrac {1}{4}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)设\(X\)表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量\(X\)的分布列和数学期望；
              \((\)Ⅱ\()\)若有\(2\)辆车独立地从甲地到乙地，求这\(2\)辆车共遇到\(1\)个红灯的概率．
              难度：中等
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