知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某中学举行了一次“环保只知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛\(.\)为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩\((\)得分取正整数，满分为\(100\) 分\()\)作为样本进行统计\(.\)请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表\((\)如图所示\()\)，解决下列问题．

\((1)\)求出\(a,b\)的值；

\((2)\)在选取的样本中，从竞赛成绩是\(80\) 分以上\((\)含\(80\) 分\()\)的同学中随机抽取\(2\) 名同学到广场参加环保只是的志愿宣传活动．

\((1)\)求所抽取的\(2\) 名同学中至少有\(1\) 名同学来自第\(5\) 组的概率；

\((2)\)求所抽取的\(2\) 名同学来自同一组的概率．

难度：易

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2．

某工厂有\(120\)名工人，其年龄都在\(20～ 60\)岁之间，各年龄段人数按\([20,30)\)，\([30,40)\)，\([40,50)\)，\([50,60]\)分成四组，其频率分布直方图如下图所示\(.\)工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加\(A\)、\(B\)两项培训，培训结束后进行结业考试。已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示。假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。

年龄分组	\(A\)项培训成绩优秀人数	\(B\)项培训成绩优秀人数
\([20,30)\)	\(27\)	\(16\)
\([30,40)\)	\(28\)
\([40,50)\)	\(16\)	\(9\)
\([50,60]\)	\(6\)	\(4\)

\((I)\)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为\(40\)的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；

\((\)Ⅱ\()\)根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；

\((\)Ⅲ\()\)随机从年龄段\([20,30)\)和\([40,50)\)中各抽取\(1\)人，设这两人中\(A\)、\(B\)两项培训结业考试成绩都优秀的人数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望．

难度：中等

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3．
为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为\(100\)的样本，数据的分组数如下：\(\left[ 10.75,10.85 \right)3\)；\(\left[ 10.85,10.95 \right)9\)；\(\left[ 10.95,11.05 \right)13\)；\(\left[ 11.05,11.15 \right)16\)；\(\left[ 11.15,11.25 \right)26\)；\(\left[ 11.25,11.35 \right)20\)；\(\left[ 11.35,11.45 \right)7\)；\(\left[ 11.45,11.55 \right)4\)；\(\left[ 11.55,11.65 \right)2\)；

\((1)\)列出频率分布表\((\)含累积频率\()\)；

\((2)\)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；

\((3)\)据上述图表，估计数据落在\(\left[ 10.95,11.35 \right)\)范围内的可能性是百分之几？

\((4)\)数据小于\(11.20\)的可能性是百分之几？

难度：中等

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4．

某校\(1 200\)名高三年级学生参加了一次数学测验\((\)满分为\(100\)分\()\)，为了分析这次数学测验的成绩，从这\(1 200\)人的数学成绩中随机抽取\(200\)人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：

成绩分组	频数	频率	平均分
\([0,20)\)	\(3\)	\(0.015\)	\(16\)
\([20,40)\)	\(a\)	\(b\)	\(32.1\)
\([40,60)\)	\(25\)	\(0.125\)	\(55\)
\([60,80)\)	\(c\)	\(0.5\)	\(74\)
\([80,100]\)	\(62\)	\(0.31\)	\(88\)

\((1)\)求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值；

\((2)\)如果从这\(1 200\)名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率\(P(\)注：\(60\)分及\(60\)分以上为及格\()\)；

\((3)\)试估计这次数学测验的年级平均分．

难度：较易

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5．
某商品计划每天购进某商品若干件，商品每销售一件该商品可获利润\(50\)元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损\(10\)元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润\(30\)元。

\((1)\)若商品一天购进商品\(10\)件，求当天的利润\(y(\)单位：元\()\)关于当天需求量\(n(\)单位：件，\(n\in {{N}^{*}})\)的函数解析式；

\((2)\)商品记录了\(50\)天该商品的日需求量\(n(\)单位：件\()\)，整理得下表：

若商品一天购进\(10\)件该商品，以\(50\)天记录的各需求量的频率作为个需求量发生的概率，求当天的利润在区间\(\left[ 400,550 \right]\)的概率。

难度：较易

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6．

\(2016\)年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破\(9.27\)亿\(.\)微信用户平均年龄只有\(26\)岁，\(97.7\%\)的用户在\(50\)岁以下，\(86.2\%\)的用户在\(18-36\)岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取\(100\)位同学进行了抽样调查，结果如下：

\((1)\)求\(a\)，\(b\)，\(c\)的值．

\((2)\)若从\(100\)位同学中随机抽取\(2\)人，求这\(2\)人中恰有\(1\)人微信群个数超过\(15\)个的概率．

\((3)\)以这\(100\)个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取\(3\)人，记\(X\)表示抽到的是微信群个数超过\(15\)个的人数，求\(X\)的分布列和数学期望\(EX\)．

难度：较难

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7．

根据国家环保部最新修订的\(《\)环境空气质量标准\(》\)规定：居民区\(PM2.5\)的年平均浓度不得超过\(35\)微克\(/\)立方米，\(PM2.5\)的\(24\)小时平均浓度不得超过\(75\)微克\(/\)立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去\(20\)天\(PM2.5\)的\(24\)小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	\(PM2.5\)平均浓度	频数	频率
第一组	\((0,25]\)	\(3\)	\(0.15\)
第二组	\((25,50]\)	\(12\)	\(0.6\)
第三组	\((50,75]\)	\(3\)	\(0.15\)
第四组	\((75,100]\)	\(2\)	\(0.1\)

\((\)Ⅰ\()\)从样本中\(PM2.5\)的\(24\)小时平均浓度超过\(50\)微克\(/\)立方米的\(5\)天中，随机抽取\(2\)天，求恰好有一天\(PM2.5\)的\(24\)小时平均浓度超过\(75\)微克\(/\)立方米的概率；

\((II)\)求样本平均数，并根据样本估计总计的思想，从\(PM2.5\)的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进\(?\)并说明理由．

难度：较易

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8．

．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出\(400\)人参加笔试，再按笔试成绩择优选出\(100\)人参加面试．现随机调查了\(24\)名笔试者的成绩，如下表所示：

据此估计允许参加面试的分数线是\((\) \()\)

A．\(75\)

B．\(80\)

C．\(85\)

D．\(90\)

难度：中等

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9．

为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛\(.\)该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛\(.\)现将所有参赛选手参加笔试的成绩\((\)得分均为整数，满分为\(100\)分\()\)进行统计，制成如下频率分布表．

分数\((\)分数段\()\)	频数\((\)人数\()\)	频率
\([60,70)\)	\(9\)	\(x\)
\([70,80)\)	\(y\)	\(0.38\)
\([80,90)\)	\(16\)	\(0.32\)
\([90,100]\)	\(z\)	\(s\)
合计	\(p\)	\(1\)

\((1)\)求出上表中的\(x\)、\(y\)、\(z\)、\(s\)、\(p\)的值；

\((2)\)按规定，预赛成绩不低于\(90\)分的选手参加决赛\(.\)已知高一\((2)\)班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一\((2)\)班在决赛中进入前三名的人数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望．

难度：易

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10．
某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分\((\)采用百分制\()\)，剔除平均分在\(40\)分以下的学生后，共有男生\(300\)名，

女生\(200\)名\(.\)现采用分层抽样的方法，从中抽取了\(100\)名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为\(6\)组，得到如下所示频数分布表．

分数段

\([40,50)\)

\([50,60)\)

\([60,70)\)

\([70,80)\)

\([80,90)\)

\([90,100]\)

男

\(3\)

\(9\)

\(18\)

\(15\)

\(6\)

\(9\)

女

\(6\)

\(4\)

\(5\)

\(10\)

\(13\)

\(2\)

\((1)\)估计男、女生各自的平均分\((\)同一组数据用该组区间中点值作代表\()\)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；

\((2)\)规定\(80\)分以上为优分\((\)含\(80\)分\()\)，请你根据已知条件作出\(2×2\)列联表，并判断是否有\(90\%\)以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．

难度：难

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分数段	\([40,50)\)	\([50,60)\)	\([60,70)\)	\([70,80)\)	\([80,90)\)	\([90,100]\)
男	\(3\)	\(9\)	\(18\)	\(15\)	\(6\)	\(9\)
女	\(6\)	\(4\)	\(5\)	\(10\)	\(13\)	\(2\)