知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

日期	\(4\)月\(1\)日	\(4\)月\(7\)日	\(4\)月\(15\)日	\(4\)月\(21\)日	\(4\)月\(30\)日
温差\(x/℃\)	\(10\)	\(11\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)
发芽数\(y/\)颗	\(23\)	\(25\)	\(30\)	\(26\)	\(16\)

\((1)\)从这\(5\)天中任选\(2\)天，若选取的是\(4\)月\(1\)日与\(4\)月\(30\)日的两组数据，请根据这\(5\)天中的另三天的数据，求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}\)；

\((2)\)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过\(2\)颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问\((1)\)中所得的线性回归方程是否可靠？

\((\)参考公式：\(\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}{{y}_{i}}-n\overline{xy}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{\overline{x}}^{_{2}}}}\)，\(\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x})\)

\((\)参考数据：\(\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}}{{y}_{i}}=977\)，\(\sum\limits_{i=1}^{3}{x_{i}^{2}}=434)\)

难度：中等

解析收藏试题篮

2．

随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长\(.\)设某地区城乡居民人民币储蓄存款\((\)年底余额\()\)如下表：\(y\)关于\(t\)的回归方程\(\widehat{y}=\widehat{b}{ }t+\widehat{a}\)；这里已经用下面的公式算出\(\widehat{b}=1.2\) ，则回归方程序中的\(\widehat{a}=\)________，用所求回归方程预测该地区\(2015\)年\(\left( t=6 \right)\)的人民币储蓄存款为________元．

年份	\(2010\)	\(2011\)	\(2012\)	\(2013\)	\(2014\)
时间代号 \(t\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
储蓄存款 \(y\) \((\)千亿元\()\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)

附：回归方程\(\widehat{y}=\widehat{b}t+\widehat{a}\)中\(\begin{cases} & b=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)\left( {{y}_{i}}-\overline{y} \right)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{t}\overline{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{t_{_{i}}^{2}-n{{\overline{t}}^{2}}}} \\ & a=\overline{y}-b\overline{t} \end{cases}\)

难度：较难

解析收藏试题篮

3．
噪音污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题\(.\) 为了了解声音强度\(D\)\((\)单位：分贝\()\)与声音能量\(I\)\((\)单位：\({{W}}/{{c}{{{m}}^{2}}}\;\)\()\)之间的关系，某研究机构将测量得到的声音强度\({{D}_{i}}\)与声音能量\({{I}_{i}}(i=1,2,3,\cdots ,10)\)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．\(\bar{I}=1.04\times {{10}^{-11}},\bar{D}=45.7,\overline{W}=-11.5,\sum\limits_{i=1}^{10}{({{W}_{i}}}-\overline{W}{{)}^{2}}=0.51,\sum\limits_{i=1}^{10}{({{I}_{i}}}-\bar{I}{{)}^{2}}=1.56\times {{10}^{-21}},\sum\limits_{i=1}^{10}{({{I}_{i}}}-\bar{I})({{D}_{i}}-\overline{D})=6.88\times {{10}^{-11}},\sum\limits_{i=1}^{10}{({{W}_{i}}}-\overline{W})({{D}_{i}}-\overline{D})=5.1.\)其中\({{W}_{i}}=\lg {{I}_{i}},\bar{I}=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}{{{I}_{i}}},\overline{W}=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}{{{W}_{i}}}.\)

\((I)\)根据散点图判断，\(D={{a}_{1}}+{{b}_{1}}I\)与\(D={{a}_{2}}+{{b}_{2}}\lg I\)哪一个更适宜作为声音强度\(D\)关于声音能量\(I\)的回归方程类型？\((\)给出判断即可，不必说明理由\()\)

\((II)\)根据\((I)\)及题中给出的一些统计量，求声音强度\(D\)关于声音能量\(I\)的适宜的回归方程；

\((\)Ⅲ\()\)当声音强度\(D\)大于\(60\)分贝时属于噪音，会产生噪声污染\(.\) 城市中某处\(P\)共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量\({{I}_{1}}\)与\({{I}_{2}}\)，且\(\dfrac{1}{{{I}_{1}}}+\dfrac{4}{{{I}_{2}}}={{10}^{10}}.\)已知\(P\)处的声音能量等于声音能量\({{I}_{1}}\)与\({{I}_{2}}\)之和\(.\)试根据\((II)\)中的回归方程，判断\(P\)处是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．

附：对于一组数据：\(({{x}_{i}},{{y}_{i}})(i=1,2,3,\cdots ,n)\)，其线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)中斜率最小二乘估计为：\(\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}}\) ，\(\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\,\overline{x}\)．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．
从某居民区随机抽取\(10\)个家庭，获得第\(i\)个家庭的月收入\(x_{i}(\)单位：千元\()\)与月储蓄\(y_{i}(\)单位：千元\()\)的数据资料，算得\(\sum\limits_{i=1}^{10}{x}_{i}=80, \sum\limits_{i=1}^{10}{y}_{i}=20, \sum\limits_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}=184, \sum\limits_{i=1}^{10}{{x}_{i}}^{2}=720 \)

\((1)\)求家庭的月储蓄\(y\)对月收入\(x\)的线性回归方程\(y=bx+a\)；

\((2)\)判断变量\(x\)与\(y\)之间是正相关还是负相关；

\((3)\)若该居民区某家庭月收入为\(7\)千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程\(y=bx+a\)中．\(b= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \overset{¯}{x} \overset{¯}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n \overset{¯}{x}{\;}^{2}},a= \overset{¯}{y}-b \overset{¯}{x} \)，其中\(\overset{¯}{x}, \overset{¯}{y} \)为样本平均值

难度：较易

解析收藏试题篮
5．
某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店\(1\)月份中\(5\)天的日销售量\(y(\)单位：千克\()\)与该地当日最低气温\(x(\)单位：\({{ }}^{{∘}}C)\)的数据，如下表：

\(x\)

\(2\)

\(5\)

\(8\)

\(9\)

\(11\)

\(y\)

\(12\)

\(10\)

\(8\)

\(8\)

\(7\)

\((1)\)求出\(y\)与\(x\)的回归方程\(\hat{y}{=}\hat{b}x{+}\hat{a}\)；
\((2)\)判断\(y\)与\(x\)之间是正相关还是负相关；若该地\(1\)月份某天的最低气温为\(6^{{∘}}C\)，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
\((3)\)设该地\(1\)月份的日最低气温\(X{～}N(\mu{,}\sigma^{2})\)，其中\(\mu\)近似为样本平均数\(\overset{{.}}{x}\)，\(\sigma^{2}\)近似为样本方差\(s^{2}\)，求\(P(3{.}8{ < }X{ < }13{.}4)\)．
附：\({①}\)回归方程\(\hat{y}{=}\hat{b}x{+}\hat{a}\)中，\(\hat{b}{=}\dfrac{\sum_{i{=}1}^{n}(x_{i}y_{i}){-}n\overset{{.}}{x\overset{{.}}{y}}}{\sum_{i{=}1}^{n}x_{i}^{2}{-}n(\overset{{.}}{x})^{2}}\)，\(\hat{a}{=}\overset{{.}}{y}{-}\hat{b}\overset{{.}}{x}\)．
\({②}\sqrt{10}{≈}3{.}2\)，\(\sqrt{3{.}2}{≈}1{.}8{.}\)若\(X{～}N(\mu{,}\sigma^{2})\)，则\(P(\mu{-}\sigma{ < }X{ < }\mu{+}\sigma){=}0{.}6826\)，\(P(\mu{-}2\sigma{ < }X{ < }\mu{+}2\sigma){=}0{.}9544\)．

难度：易

解析收藏试题篮

6．

下表是某厂\(1～4\)月份用水量\((\)单位：百吨\()\)的一组数据：

月份\(x\)	\(1\)		\(3\)	\(4\)
用水量\(y\)	\(4.5\)	\(4\)	\(3\)	\(2.5\)

由散点图可知，用水量\(y\)与月份\(x\)之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是\(y=-0.7x+a\)，则\(a\)等于\((\)　　\()\)

A．\(10.5\)

B．\(5.15\)

C．\(5.2\)

D．\(5.25\)

难度：中等

解析收藏试题篮

7．

一只药用昆虫的产卵数\(y\)与一定范围内的温度\(x\)有关，现收集了该种药用昆虫的\(6\)组观测数据如下表：

温度\(x/^{\circ}C\)

\(21\)

\(23\)

\(24\)

\(27\)

\(29\)

\(32\)

产卵数\(y/\)个

\(6\)

\(11\)

\(20\)

\(27\)

\(57\)

\(77\)

经计算得：\(\bar{x}=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{6}{{{x}_{i}}}=26\)，\(\bar{y}=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{6}{{{y}_{i}}}=33\)，\(\sum\limits_{i=1}^{6}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}}-\bar{y})=557\)，\(\sum\limits_{i=1}^{6}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}=84\)，\(\sum\limits_{i=1}^{6}{({{y}_{i}}}-\bar{y}{{)}^{2}}=3930\)，线性回归模型的残差平方和\(\sum\limits_{i=1}^{6}{({{y}_{i}}}-{{\hat{y}}_{i}}{{)}^{2}}=236.64\)，\(e^{8.0605}≈3167\)，其中\(x_{i}\)， \(y_{i}\)分别为观测数据中的温度和产卵数，\(i=1\)， \(2\)， \(3\)， \(4\)， \(5\)， \(6\)．

\((\)Ⅰ\()\)若用线性回归模型，求\(y\)关于\(x\)的回归方程\(\hat{y}\)\(=\)\(\hat{b}\)\(x+\)\(\hat{a}\)\((\)精确到\(0.1)\)；

\((\)Ⅱ\()\)若用非线性回归模型求得\(y\)关于\(x\)的回归方程为\(\hat{y}=0.06e^{0.2303x}\)，且相关指数\(R^{2}=0.95\)．

\(( i )\)试与\((\)Ⅰ\()\)中的回归模型相比，用\(R^{2}\)说明哪种模型的拟合效果更好．

\((ii)\)用拟合效果好的模型预测温度为\(35^{\circ}C\)时该种药用昆虫的产卵数\((\)结果取整数\()\)．

附：一组数据\((x_{1},y_{1})\)， \((x_{2},y_{2})\)， \(...\)，\((x_{n},y_{n})\)，其回归直线\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)的斜率和截距的最小二乘估计为

\(\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}}-\bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}},\hat{a}=\bar{y}−\hat{b}\bar{x}\)；相关指数\(R^{2}=1-\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{y}_{i}}}-{{{\hat{y}}}_{i}}{{)}^{2}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{y}_{i}}}-\bar{y}{{)}^{2}}}\)．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．
如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量\((x\)吨\()\)与相应的生产能耗\(y(\)吨\()\)标准煤的几组对照数据：

\(x\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

\(6\)

\(y\)

\(2.5\)

\(3\)

\(4\)

\(4.5\)

\((1)\)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程\(\hat {y}=\hat {b}x+\hat {a} \)；

\((2)\)已知该厂技术改造前\(100\)吨甲产品能耗为\(90\)吨标准煤，试根据\((1)\)求出的线性回归方程，预测生产\(100\)吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

难度：较难

解析收藏试题篮

9．

某地区\(2011\)年至\(2017\)年农村居民家庭人均纯收入\(y(\)单位：千元\()\)的数据如下表：

年份	\(2011\)	\(2012\)	\(2013\)	\(2014\)	\(2015\)	\(2016\)	\(2017\)
年份代号\(t\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
人均纯收入\(y\)	\(2.9\)	\(3.3\)	\(3.6\)	\(4.4\)	\(4.8\)	\(5.2\)	\(5.9\)

\((1)\)求\(y\)关于\(t\)的线性回归方程；

\((2)\)利用\((1)\)中的回归方程，分析\(2011\)年至\(2017\)年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区\(2019\)年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

\(\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{y})({y}_{i}- \bar{y})}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}},\hat {a}= \bar{y}-\hat {b} \bar{t}. \)

难度：中等

解析收藏试题篮

10．

某产品的广告费用\(x\)与销售额\(y\)的统计数据如下表：