知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

年份代号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
宣传费\((\)千元\()\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(8\)	\(10\)
销量\((\)千件\()\)	\(30\)	\(40\)	\(60\)	\(50\)	\(70\)	\(y\)
利润\((\)千元\()\)	\(40\)	\(70\)	\(110\)	\(90\)	\(160\)	\(205\)

\((1)\)若近\(6\)年的宣传费\(x\)与销量\(y\)呈线性分布，由前\(5\)年数据求线性回归直线方程，并写出\(y\)的预测值；
\((2)\)若利润与宣传费的比值不低于\(20\)的年份称为“吉祥年”，在这\(6\)个年份中任意选\(2\)个年份，求这\(2\)个年份均为“吉祥年”的概率
附：回归方程\( \overset{\hat{} }{y}= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}\)的斜率与截距的最小二乘法估计分别为\( \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{1}y_{1}-n \overline {x} \overline {y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n} x_{ i }^{ 2 }-nx^{2}}\)，\( \hat {a}= \overline {y}- \hat {b} \overline {x}\)，其中\( \overline {x}\)，\( \overline {y}\)为\(x_{i}\)，\(y_{i}\)的平均数．

难度：较易

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2．

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：

单价\(x(\)元\()\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)
销量\(y(\)件\()\)	\(90\)	\(84\)	\(83\)	\(80\)	\(75\)	\(68\)

由表中数据，求得线性回归方程为\( \hat y=-4x+a.\)若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为 \((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {1}{6}\)

B．\( \dfrac {1}{3}\)

C．\( \dfrac {1}{2}\)

D．\( \dfrac {2}{3}\)

难度：难

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3．

若在散点图中所有的样本点都在一条直线\(y=-2x+1\)上，那么解释变量和预报变量之间的相关系数是( )

A．\(-1\)

B．\(0\)

C．\(1\)

D．\(-2\)

难度：中等

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4．

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到数据如表\(.\)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从\(\hat {y} =bx+a(\) \(b=-20\)，\(a=\bar{y} -b\bar{x} )\)的关系，且该产品的成本是\(4\)元\(/\)件，为使工厂获得最大利润\((\)利润\(=\)销售收入\(-\)成本\()\)，该产品的单价应定为\((\)　　\()\)元．

单价\(x(\)元\()\)	\(8\)	\(8.2\)	\(8.4\)	\(8.6\)	\(8.8\)	\(9\)
销量\(y(\)件\()\)	\(90\)	\(84\)	\(83\)	\(80\)	\(75\)	\(68\)

A．\(\dfrac{31}{4} \)

B．\(8\)

C．\(\dfrac{33}{4} \)

D．\(\dfrac{35}{4} \)

难度：难

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5．

实验测得四组\((x,y)\)的值分别为\((1,2)\)，\((2,3)\)，\((3,4)\)，\((4,4)\)，则\(y\)与\(x\)间的线性回归方程是\((\)　　\()\)

A．\(y=-1+x\)

B．\(y=1+x\)

C．\(y=1.5+0.7x\)

D．\(y=1+2x\)

难度：较难

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6．下列说法错误的是

A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B．在线性回归分析中，相关系数 \(r\)的值越大，变量间的相关性越强

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在回归分析中，\(R^{2}\)为\(0.98\)的模型比\(R^{2}\)为\(0.80\)的模型拟合的效果好

难度：难

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7．

对两个变量\(x\)和\(y\)进行回归分析，得到一组样本数据：\((x_{1}{,}y_{1}){,}(x_{2}{,}y_{2}){,}{…}{,}(x_{n}{,}y_{n})\)，则下列说法中不正确的是\(({ })\)

A．由样本数据得到的回归方程\(\hat{y}{=}\hat{b}x{+}\hat{a}\)必过样本点的中心\((\overset{{.}}{x}{,}\overset{{.}}{y})\)

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数\(R^{2}{=}1{-}\dfrac{\sum_{i{=}1}^{n}(y_{i}{-}{\hat{y}}_{i})^{2}}{\sum_{i{=}1}^{n}(y_{i}{-}\overset{{.}}{y})^{2}}\)来刻画回归效果，\(R^{2}\)的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．用相关指数\(R^{2}{=}1{-}\dfrac{\sum_{i{=}1}^{n}(y_{i}{-}{\hat{y}}_{i})^{2}}{\sum_{i{=}1}^{n}(y_{i}{-}\overset{{.}}{y})^{2}}\)来刻画回归效果，\(R^{2}\)的值越大，说明模型的拟合效果越好

难度：中等

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8．
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数\(x(\)个\()\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

加工的时间\(y(\)小时\()\)

\(2.5\)

\(3\)

\(4\)

\(4.5\)

\((1)\)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

\((2)\)求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，并在坐标系中画出回归直线；

\((3)\)试预测加工\(10\)个零件需要多少时间？

\((\)注：\( \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}−n \bar{x} \bar{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}−n{ \bar{x}}^{2}} \)，\(\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x})\)

难度：中等

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9．

下列四个判断：
\(①\)某校高三一班和高三二班的人数分别是\(m\)，\(n\)，某次测试数学平均分分别是\(a\)，\(b\)，则这两个班的数学平均分为\( \dfrac {a+b}{2}\)；
\(②10\)名工人某天生产同一零件，生产的件数是\(15\)，\(17\)，\(14\)，\(10\)，\(15\)，\(17\)，\(17\)，\(16\)，\(14\)，\(12\)，设其平均数为\(a\)，中位数为\(b\)，众数为\(c\)，则有\(c > a > b\)；
\(③\)从总体中抽取的样本\((x_{1},y_{1})\)，\((x_{2},y_{2})\)，\(…\)，\((x_{n},y_{n})\)，若记\( \overline {x}= \dfrac {1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\)，\( \overline {y}= \dfrac {1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}\)则回归直线\(y=bx+a\)必过点\(( \overline {x}, \overline {y})\)；
\(④\)已知\(ξ\)服从正态分布\(N(0,σ^{2})\)，且\(p(-2\leqslant ξ\leqslant 0)=0.3\)，则\(p(ξ > 2)=0.2\)；
其中正确的个数有\((\)　　\()\)

A．\(0\)个

B．\(1\)个

C．\(2\)个

D．\(3\)个

难度：难

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10．

某连锁经营公司所属\(5\)个零售店某月的销售额和利润额资料如表所示：

商店名称

\(A\)

\(B\)

\(C\)

\(D\)

\(E\)

销售额\((x)/\)千万元

\(3\)

\(5\)

\(6\)

\(7\)

\(9\)

利润额\((y)/\)百万元

\(2\)

\(3\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

\((1)\)画出销售额和利润额的散点图．

\((2)\)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额\(y\)对销售额\(x\)的回归直线方程\( \overset{\}{y}= \overset{\}{b}x+ \overset{\}{a} \)，其中\( \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{ \bar{x}}^{2}}, \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b}x \)

\((3)\)若获得利润是\(4.5\)百万元时估计销售额是多少\((\)千万元\()?\)

难度：较易

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零件的个数\(x(\)个\()\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
加工的时间\(y(\)小时\()\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)

商店名称	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)	\(E\)
销售额\((x)/\)千万元	\(3\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(9\)
利润额\((y)/\)百万元	\(2\)	\(3\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)