知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设A，B为曲线C：y= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

难度：较易

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2．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线 $l%EF%BC%9A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2%2Btcos%5Calpha%20%7D%7By%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2Btsin%5Calpha%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）与曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2cos%5Ctheta%20%7D%7By%3Dsin%5Ctheta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若 $%CE%B1%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，求线段AB中点M的坐标；
（2）若|PA|•|PB|=|OP|²，其中 $P%282%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，求直线l的斜率．

难度：较易

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3．已知椭圆C：9x²+y²=m²（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（ $%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7B3%7D$ ，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

难度：难

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4．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2-a）（x-1）-2f（x）．
（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x₀，y₀），直线AB的斜率为k．证明：k＞f′（x₀）
（3）设F（x）=|f（x）|+ $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Bx%2B1%7D$ （b＞0），对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有 $%20%5Cfrac%20%7BF%28x_%7B1%7D%29-F%28x_%7B2%7D%29%7D%7Bx_%7B1%7D-x_%7B2%7D%7D$ ＜-1，求实数b的取值范围．

难度：中等

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5．圆x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦；
（1）当 $a%3D%20%5Cfrac%20%7B3%CF%80%7D%7B4%7D$ 时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P₀平分时，求直线AB的方程．

难度：较易

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6．在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求x₁与x₂的值；
（2）若以点P为圆心的圆与直线MN相切，求圆的面积．

难度：中等

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7．在平面直角坐标系中，两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）间的“L-距离”定义为|P₁P₂|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．现将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的斜率为k，0≤k≤ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．求：当|BC|取最大值时，边AB所在直线的斜率的值．

难度：较易

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8．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设l与圆C交于A、B两点，若|AB|= $%20%5Csqrt%20%7B17%7D$ ，求l的倾斜角．

难度：难

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9．过双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%3D1$ 的右焦点F作倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点C到焦点F的距离．

难度：较易

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10．已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（Ⅰ）若点F到直线l的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

难度：中等

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