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如图，在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=1\)，\(BC=\sqrt{3}\)，点\(M\)在棱\(CC_{1}\)上，且\(MD_{1}⊥MA\)，则当\(\triangle MAD_{1}\)的面积最小时，棱\(CC_{1}\)的长为
在空间直角坐标系\(Oxyz\)中，已知\(A(2,0,0)\)，\(B(2,2,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(.\)若\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)分别是三棱锥\(D-ABC\)在\(xOy\)，\(yOz\)，\(zOx\)坐标平面上的正投影图形的面积，则
如图，在四棱锥\(S—ABCD\)中，底面梯形\(ABCD\)中，\(BC/\!/AD\)，平面\(SAB⊥\)平面\(ABCD\)，\(\triangle SAB\)是等边三角形，已知\(AC=2AB=4\)，\(BC=2AD=2DC=2 \sqrt{5} \)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(SAB⊥\)平面\(SAC\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(B—SC—A\)的余弦值．
在正三棱锥\(P-ABC\)中，三条侧棱两两互相垂直，\(G\)是\(\triangle PAB\)的重心，\(E\)，\(F\)分别为\(BC\)，\(PB\)上的点，且\(BE︰EC=PF︰FB=1︰2\)．
求证：\((1)\)平面\(GEF⊥PBC\)；
\((2)EG⊥BC\)，\(PG⊥EG\)．
在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(M\)是\(AB\)的中点，则\(\sin \left\langle \overrightarrow{D{{B}_{1}}},\overrightarrow{CM} \right\rangle \)的值等于\((\) \()\)
如图，四边形\(ABCD\)为正方形，\(PD\bot \)平面\(ABCD\)， \(PD=\sqrt{3}AD\)，\(AE\bot PC\)于点\(E\)，\(EF/\!/CD\)，交\(PD\)于点\(F\)．
\((1)\)证明：平面\(ADE\bot \)平面\(PBC\)；
\((2)\)求二面角\(D-AE-F\)的余弦值．
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\(.\)若\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)分别是三棱锥\(D-ABC\)在\(xOy\)，\(yOz\)，\(zOx\)坐标平面上的正投影图形的面积，则