知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆C₁：（x+1）²+y²=25，圆C₂：（x-1）²+y²=1，动圆C与圆C₁和圆C₂均内切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）点P（1，t）为轨迹E上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与轨迹E交于A，B两点，直线PA，PB斜率互为相反数，则直线AB斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

难度：中等

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2．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y²=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为．

难度：中等

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3．已知A（-1，0），B是圆C：（x-1）²+y²=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足
1
kOP
+
1
kOQ
=
1
kPQ
．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l₁，l₂，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点．

难度：中等

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5．已知圆P与直线x=-1相切，且经过（1，0），设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点A的坐标为（2，1），点B在曲线C上运动，求线段AB中点的轨迹方程．

难度：中等

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6．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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7．已知A（x₀，0），B（0，y₀）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足
OP
=2
OA
+
3
OB
．
（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l₁与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（Ⅲ）直线l₂：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l₂，使△ABE的面积为2
3
？若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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8．圆C过点A（6，4），B（1，-1），且圆心在直线l：x-5y+7=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（7，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．

难度：较难

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9．已知圆C与两平行线5x+2
2
y+3=0和5x+2
2
y-63=0都相切，且圆心在x轴上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A，B，求线段AB的中点M的轨迹C₁的方程．

难度：中等

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10．设点A、B的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线AP与直线BP相交于点P，且它们的斜率之积为-
1
4
．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若斜率为
1
2
的直线与（1）中的轨迹C交于不同的两点M，N，点Q的坐标为（0，1）．求证：△QMN的重心在一条定直线上．

难度：中等

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