知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．

难度：较难

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2．已知曲线 $C%3Ay%3D%5Cfrac%7B%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D$ ，D为直线 $y%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E(0, $%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D$ )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积

难度：中等

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3．
$(1)$
如图，$⊙O$中$\overline {AB} $的中点为$P$，弦$PC$，$PD$分别交$AB$于$E$，$F$两点。

$($Ⅰ$)$若$∠PFB=2∠PCD$，求$∠PCD$的大小；

$($Ⅱ$)$若$EC$的垂直平分线与$FD$的垂直平分线交于点$G$，证明$OG⊥CD$。

$(2)$ 在直线坐标系$xoy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$($为参数$)$。以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ\sin $( )$=$．
$(I)$写出$C_{1}$的普通方程和$C_{2}$的直角坐标方程；
$(II)$设点$P$在$C_{1}$上，点$Q$在$C_{2}$上，求$∣PQ∣$的最小值及此时$P$的直角坐标．

$(3)$ 已知函数$f(x)=∣2x-a∣+a$．

$(I)$当$a=2$时，求不等式$f(x)\leqslant 6$的解集；
$(II)$设函数$g(x)=∣2x-1∣.$当$x∈R$时，$f(x)+g(x)\geqslant 3$，求$a$的取值范围。

难度：较易

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4．

在直线坐标系$xoy$中，曲线$C$${\,\!}_{1}$的参数方程为$(α $为参数$)$。以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C$${\,\!}_{2}$的极坐标方程为$ρ\sin (θ+ \dfrac{π}{4} )=2 \sqrt{2} $．

$(I)$写出$C_{1}$的普通方程和$C_{2}$的直角坐标方程；

$(II)$设点$P$在$C_{1}$上，点$Q$在$C_{2}$上，求$∣PQ∣$的最小值及此时$P$的直角坐标．

难度：难

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5．

已知椭圆$E:$$ \dfrac{{x}^{2}}{t}+ \dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $的焦点在$x$轴上，$A$是$E$的左顶点，斜率为$k(k > 0)$的直线交$E$于$A$，$M$两点，点$N$在$E$上，$MA⊥NA$．

$(I)$当$t=4$，$|AM|=|AN| $时，求$\triangle AMN$的面积；

$(II)$当$2|AM|=|AN|$时，求$k$的取值范围．

难度：较难

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6．

在直线坐标系$xoy$中，圆$C$的方程为$(x+6)$${\,\!}^{2}$$+y$${\,\!}^{2}$$=25$．

$(I)$以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，求$C$的极坐标方程；

$(II)$直线$l$的参数方程是$\begin{cases}x=t\cos α \\ y=t\sin α\end{cases} $$(t$为参数$)$，$l$与$C$交于$A$、$B$两点，$∣AB∣=$$\sqrt{10}$，求$l$的斜率。

难度：中等

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7．
在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$Γ$：$ \dfrac {x^{2}}{4}+y^{2}=1$，$A$为$Γ$的上顶点，$P$为$Γ$上异于上、下顶点的动点，$M$为$x$正半轴上的动点．
$(1)$若$P$在第一象限，且$|OP|= \sqrt {2}$，求$P$的坐标；
$(2)$设$P( \dfrac {8}{5}, \dfrac {3}{5})$，若以$A$、$P$、$M$为顶点的三角形是直角三角形，求$M$的横坐标；
$(3)$若$|MA|=|MP|$，直线$AQ$与$Γ$交于另一点$C$，且$ \overrightarrow{AQ}=2 \overrightarrow{AC}$，$ \overrightarrow{PQ}=4 \overrightarrow{PM}$，求直线$AQ$的方程．

难度：难

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8．
已知椭圆$C$的两个顶点分别为$A(-2,0)$，$B(2,0)$，焦点在$x$轴上，离心率为$ \dfrac { \sqrt {3}}{2}$．
$($Ⅰ$)$求椭圆$C$的方程；
$($Ⅱ$)$点$D$为$x$轴上一点，过$D$作$x$轴的垂线交椭圆$C$于不同的两点$M$，$N$，过$D$作$AM$的垂线交$BN$于点$E.$求证：$\triangle BDE$与$\triangle BDN$的面积之比为$4$：$5$．

难度：较难

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9．
已知$A$是椭圆$E$：$ \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1$的左顶点，斜率为$k(k > 0)$的直线交$E$于$A$，$M$两点，点$N$在$E$上，$MA⊥NA$．
$(I)$当$|AM|=|AN|$时，求$\triangle AMN$的面积
$(II)$当$2|AM|=|AN|$时，证明：$ \sqrt {3} < k < 2$．

难度：难

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10．
设圆$x^{2}+y^{2}+2x-15=0$的圆心为$A$，直线$l$过点$B(1,0)$且与$x$轴不重合，$l$交圆$A$于$C$，$D$两点，过$B$作$AC$的平行线交$AD$于点$E$．
$($Ⅰ$)$证明$|EA|+|EB|$为定值，并写出点$E$的轨迹方程；
$($Ⅱ$)$设点$E$的轨迹为曲线$C_{1}$，直线$l$交$C_{1}$于$M$，$N$两点，过$B$且与$l$垂直的直线与圆$A$交于$P$，$Q$两点，求四边形$MPNQ$面积的取值范围．

难度：难

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