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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，四个顶点围成的四边形的内切圆半径为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的左、右焦点，过\(F_{2}\)作直线交椭圆于\(M\)、\(N\)两点，求三角形\(MNF_{1}\)面积的最大值及取得最大值时直线\(MN\)的方程．
              难度：较易
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            • 2．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以椭圆的短轴为直径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设椭圆过右焦点\(F\)的弦为\(AB\)、过原点的弦为\(CD\)，若\(CD/\!/AB\)，求证：\( \dfrac {|CD|^{2}}{|AB|^{2}}\)为定值．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右顶点分别为\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，左右焦点为分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，焦距为\(2\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若\(P\)为椭圆上一动点，直线\(l_{1}\)过点\(A_{1}\)且与\(x\)轴垂直，\(M\)为直线\(A_{2}P\)与\(l_{1}\)的交点，\(N\)为直线\(A_{1}P\)与直线\(MF_{2}\)的交点，求证：点\(N\)在一个定圆上．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)中心在原点，离心率\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，其右焦点是圆\(E\)：\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的圆心．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)如图，过椭圆\(C\)上且位于\(y\)轴左侧的一点\(P\)作圆\(E\)的两条切线，分别交\(y\)轴于点\(M\)、\(N.\)试推断是否存在点\(P\)，使\(|MN|= \dfrac { \sqrt {14}}{3}\)？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 5．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)已知定点\(E(-1,0)\)，若直线\(y=kx+2(k\neq 0)\)与椭圆交于\(C\)、\(D\)两点，问：是否存在\(k\)的值，使以\(CD\)为直径的圆过\(E\)点？请说明理由．
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\(C_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(e= \dfrac {1}{2}\)，过\(C_{1}\)的左焦点\(F_{1}\)的直线\(l\)：\(x-y+2=0\)，直线\(l\)被圆\(C_{2}\)：\((x-3)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}(r > 0)\)截得的弦长为\(2 \sqrt {2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C_{1}\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(C_{1}\)的右焦点为\(F_{2}\)，在圆\(C_{2}\)上是否存在点\(P\)，满足\(|PF_{1}|= \dfrac {a}{b}|PF_{2}|\)，若存在，指出有几个这样的点\((\)不必求出点的坐标\()\)；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(M\)为椭圆上任意一点，当\(∠F_{1}MF_{2}=90^{\circ}\)时，\(\triangle F_{1}MF_{2}\)的面积为\(1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(A\)是椭圆\(C\)上异于椭圆顶点的一点，延长直线\(AF_{1}\)，\(AF_{2}\)分别与椭圆交于点\(B\)，\(D\)，设直线\(BD\)的斜率为\(k_{1}\)，直线\(OA\)的斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}⋅k_{2}\)为定值．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆的一个顶点为\(A(0,-1)\)，焦点在\(x\)轴上，若右焦点到直线\(x-y+2 \sqrt {2}=0\)的距离为\(3\)．
              \((I)\)求椭圆的标准方程；
              \((II)\)设直线\(l\)：\(y=x+m\)，是否存在实数\(m\)，使直线\(l\)与\((1)\)中的椭圆有两个不同的交点\(M\)、\(N\)，且\(|AM|=|AN|\)，若存在，求出 \(m\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 9．
              已知\(P(x,y)\)为椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{25}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)上一点，\(F\)为椭圆\(C\)的右焦点，若点\(M\)满足\(|MF|=1\)且\(MP⊥MF\)，则\(|PM|\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\([2,8]\)
              B．\([ \sqrt {3},8]\)
              C．\([2,,3 \sqrt {7}]\)
              D．\([ \sqrt {3},3 \sqrt {7}]\)
              难度：较易
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            • 10．
              椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，经过椭圆右焦点且垂直于\(x\)轴的直线被椭圆截得弦的长度为\(3\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\) 两点\((A,B\)不是左、右顶点\()\)，且以\(AB\)为直径的圆过椭圆\(C\)的右顶点\(.\)求证：直线\(l\)过定点，并求出该定点的坐标．
              难度：较易
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