知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2017•湖北模拟）如图，在圆x²+y²=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足
DM
=
2
3
DP
；当点P在圆x²+y²=9上运动时，点M的轨迹为E．
（1）求点M的轨迹的方程E；
（2）与已知圆x²+y²=1相切的直线l：y=km+m交E于A，B两点，求
OA
•
OB
的取值范围．

难度：中等

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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，焦点到相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y=
2
于点Q，求
1
OP2
+
1
OQ2
的值．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF₁的周长为8，且△AF₁F₂的面积的最大时，△AF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：
|MN|2
|AB|
为定值．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x²+y²=12上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N₁（点N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知椭圆C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为
2
5
5

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，
ON
=λ（
OB
+
OM
），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（2，
2
）且离心率等于
2
2
，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．

难度：中等

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7．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x²+（y-1）²=r²（r＞0），圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
TA
•
TB
的最小值，并求出此时圆T的方程；
（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．

难度：较难

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8．（1）求与双曲线
x2
9
-
y2
4
=1共渐近线，且过点（3，4）的双曲线的标准方程；
（2）过椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)右焦点的直线x+y-
3
=0交M于A，B两点，O为坐标原点，P为AB的中点，且OP的斜率为
1
2
，求椭圆M的方程．

难度：中等

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9．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，左顶点到直线x+2y-2=0的距离为
4
5
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；
（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．

难度：中等

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10．如图所示，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，E的右焦点到直线y=x+1的距离为
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆E交于M，N两点，且以MN为直径的圆过A，求证：直线l恒过定点，并求出此定点坐标．

难度：中等

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