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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左顶点，右焦点分别为\(A\)，\(F\)，右准线为\(m\)．
              \((1)\)若直线\(m\)上不存在点\(Q\)，使\(\triangle AFQ\)为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
              \((2)\)在\((1)\)的条件下，当\(e\)取最大值时，\(A\)点坐标为\((-2,0)\)，设\(B\)，\(M\)，\(N\)是椭圆上的三点，且\( \overrightarrow{OB}= \dfrac {3}{5} \overrightarrow{OM}+ \dfrac {4}{5} \overrightarrow{ON}\)，求：以线段\(MN\)的中点为圆心，过\(A\)，\(F\)两点的圆的方程．
              难度：较易
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，且椭圆\(C\)上一点\(M\)与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为\(4+2 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)如图，设点\(D\)为椭圆上任意一点，直线\(y=m\)和椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，直线\(DA\)、\(DB\)与\(y\)轴的交点分别为\(P\)、\(Q\)，求证：\(∠PF_{1}F_{2}+∠QF_{1}F_{2}=90^{\circ}\)．
              难度：中等
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            • 3．
              斜率为\(1\)的直线与椭圆\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)相交与\(A\)，\(B\)两点，则\(|AB|\)的最大值为 ______ ．
              难度：较易
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            • 4．

              点\(M( \sqrt {2},1)\)在椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上，且点\(M\)到椭圆两焦点的距离之和为\(2 \sqrt {5}\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知动直线\(y=k(x+1)\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(P(- \dfrac {7}{3},0)\)，求证：\( \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\)为定值．
              难度：难
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，短轴长和焦距都等于\(2\)，\(A\)是椭圆上的一点，且\(A\)在第一象限内，过\(A\)且斜率等于\(-1\)的直线与椭圆\(C\)交于另一点\(B\)，点\(A\)关于原点的对称点为\(D\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：直线\(BD\)的斜率为定值；
              \((\)Ⅱ\()\)求\(\triangle ABD\)面积的最大值，并求此时直线\(BD\)的方程．
              难度：较易
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            • 6．
              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右焦点为\(F\)，\(P\)为右准线上一点\(.\)点\(Q\)在椭圆上，且\(FQ⊥FP\)．
              \((1)\)若椭圆的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {3}\)．
              \(①\)求椭圆的方程；
              \(②\)若直线\(OQ\)，\(PQ\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，求\(k_{1}⋅k_{2}\)的值．
              \((2)\)若在\(x\)轴上方存在\(P\)，\(Q\)两点，使\(O\)，\(F\)，\(P\)，\(Q\)四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
              难度：中等
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，离心率等于\( \dfrac {1}{2}\)，它的一个短轴端点恰好是抛物线\(x^{2}=8 \sqrt {3}y\)的焦点．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知\(P(2,3)\)、\(Q(2,-3)\)是椭圆上的两点，\(A\)，\(B\)是椭圆上位于直线\(PQ\)两侧的动点，
              \(①\)若直线\(AB\)的斜率为\( \dfrac {1}{2}\)，求四边形\(APBQ\)面积的最大值；
              \(②\)当\(A\)、\(B\)运动时，满足\(∠APQ=∠BPQ\)，试问直线\(AB\)的斜率是否为定值，请说明理由．
              难度：中等
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            • 8．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别为左、右焦点，过\(F_{1}\)的直线交椭圆\(C\)于\(P\)，\(Q\)两点，且\(\triangle PQF_{2}\)的周长为\(8\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设过点\(M(3,0)\)的直线交椭圆\(C\)于不同两点\(A\)，\(B.N\)为椭圆上一点，且满足\( \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}=t \overrightarrow{ON}(O\)为坐标原点\()\)，当\(|AB| < \sqrt {3}\)时，求实数\(t\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 9．
              设椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\(A\)是椭圆上的一点，且点\(A\)到椭圆\(C\)两焦点的距离之和为\(4\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)椭圆\(C\)上一动点\(P(x_{0},y_{0})\)关于直线\(y=2x\)的对称点为\(P_{1}(x_{1},y_{1})\)，求\(3x_{1}-4y_{1}\)的取值范围．
              难度：较难
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            • 10．
              已知椭圆\(E\)的中心在原点，焦点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)在\(x\)轴上，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，在椭圆\(E\)上有一动点\(A\)与\(F_{1}\)、\(F_{2}\)的距离之和为\(4\)，
              \((\)Ⅰ\()\) 求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\) 过\(A\)、\(F_{1}\)作一个平行四边形，使顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)都在椭圆\(E\)上，如图所示\(.\)判断四边形\(ABCD\)能否为菱形，并说明理由．
              难度：较易
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