知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a，b＞0）的实轴长为4 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，焦点到渐近线的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线y= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ ，求m的值及点C的坐标．

难度：难

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2．已知双曲线x²-y²=1，点F₁，F₂为其两个焦点，点P为双曲线上右支上一点，N为线段PF₁的中点，O为双曲线的中心，若|PF₁|=5，则线段ON的长度为 ______ ．

难度：易

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3．已知A₁，A₂，B₁，B₂分别为双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）实轴与虚轴的两个端点，P（4， $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）为双曲线上一点，且满足k $%C2%A0_%7BA_%7B1%7DP%7D$ •k $%C2%A0_%7BA_%7B2%7DP%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点Q（2，2）的直线l与该双曲线有且只有一个公共点，求直线l的方程．

难度：较易

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4．设曲线x= $%20%5Csqrt%20%7B2y-y%5E%7B2%7D%7D$ 上的点到直线x-y-2=0的距离的最大值为a，最小值为b，则a-b的值为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$

B． $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ +1

D．2

难度：较易

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5．已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，焦点到一条渐近线的距离为1，
①求M的标准方程
②直线y=kx+1交M的左支于A、B两点，E为AB的中点，F为其左焦点，求直线EF在y轴上的截距m的取值范围．

难度：较易

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6．已知F是双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B12%7D%3D1$ 的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点．求：
（1）|PF|+|PA|的最小值；
（2）|PF|-|PA|的有没有最大值？若有，求此最大值，并说明理由．

难度：较易

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7．

如图，F₁，F₂分别是双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF₂|=|F₁F₂|，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

A．y=±x

B． $y%3D%C2%B1%20%5Csqrt%20%7B3%7Dx$

C． $y%3D%C2%B1%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx$

D． $y%3D%C2%B1%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dx$

难度：较易

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8．已知双曲线C：x²-y²=1及直线l：y=kx+1．
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，求AB的长．

难度：较易

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9．已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ =1恒有两个公共点，则斜率k的取值范围为 ______ ．

难度：较易

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10．已知曲线x²-4y²=4，过点A（3，-1）且被点A平分的弦MN所在的直线方程为 ______ ．

难度：较易

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