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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，上顶点\(M\)到直线\( \sqrt {3}x+y+4=0\)的距离为\(3\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(l\)过点\((4,-2)\)且与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(l\)不经过点\(M\)，证明：直线\(MA\)的斜率与直线\(MB\)的斜率之和为定值．
              难度：较易
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，三点\(P_{1}(1, \dfrac {3}{2})\)，\(P_{2}( \dfrac {1}{2},- \dfrac { \sqrt {3}}{2}).P_{3}(-1,- \dfrac {3}{2})\)中恰有二点在椭圆\(C\)上，且离心率为\(e= \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设\(P\)为椭圆\(C\)上任一点，\(A_{1}A_{2}\)为椭圆\(C\)的左右顶点，\(M\)为\(PA_{2}\)中点，求证：直线\(PA_{2}\)与直线\(OM\)它们的斜率之积为定值；
              \((3)\)若椭圆\(C\)的右焦点为\(F\)，过\(B(4,0)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(D\)，\(E\)，求证：直线\(FD\)与直线\(FE\)关于直线\(x=1\)对称．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)的两个焦点为\(F_{1}(-1,0)\)，\(F_{2}(1,0)\)，且经过点\(E(1, \dfrac {3}{2})\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点\((\)点\(A\)位于\(x\)轴上方\()\)，若\( \overrightarrow{AF_{1}}=λ \overrightarrow{F_{1}B}\)，且\( \dfrac {5}{3}\leqslant λ\leqslant \dfrac {7}{3}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 4．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(P(2,1)\)，且离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(O\)为坐标原点，在椭圆短轴上有两点\(M\)，\(N\)满足\( \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{NO}\)，直线\(PM\)、\(PN\)分别交椭圆于\(A\)，\(B.\)探求直线\(AB\)是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
              难度：中等
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            • 5．
              椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，点\(P\)为椭圆上一动点，\(\triangle F_{1}PF_{2}\)内切圆面积的最大值为\( \dfrac {π}{3}\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)设椭圆的左顶点为\(A_{1}\)，过右焦点\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆相交于\(A\)，\(B\)两点，连结\(A_{1}A\)，\(A_{1}B\)并延长交直线\(x=4\)分别于\(P\)，\(Q\)两点，以\(PQ\)为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
              难度：较易
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            • 6．
              已知点\(M\)，\(N\)分别是椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右顶点，\(F\)为其右焦点，\(|MF|\)与\(|FN|\)的等比中项是\( \sqrt {3}\)，椭圆的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设不过原点\(O\)的直线\(l\)与该轨迹交于\(A\)，\(B\)两点，若直线\(OA\)，\(AB\)，\(OB\)的斜率依次成等比数列，求\(\triangle OAB\)面积的取值范围．
              难度：难
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，四个顶点构成的四边形的面积是\(4\)；
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设\(A\)、\(B\)是椭圆上、下两个顶点，\(M\)是椭圆上异于\(A\)，\(B\)的任意一点，过点\(M\)作\(MN⊥y\)轴于\(N\)，\(E\)为线段\(MN\)的中点，直线\(AE\)与直线\(y=-1\)交于点\(C\)，\(G\)为线段\(BC\)的中点，\(O\)为坐标原点，求\(∠OEG\)的大小．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，其中一个焦点与抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点重合，点\((1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设椭圆的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，过\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(\triangle AF_{1}B\)的面积为\( \dfrac {6 \sqrt {3}}{5}\)，求以\(F_{1}\)为圆心且与直线\(l\)相切的圆的方程．
              难度：较易
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            • 9．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，点\(( \sqrt {2}, \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)在\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，\(O\)为坐标原点，且\(OP⊥OQ\)，求\(\triangle OPQ\)面积的最小值．
              难度：较易
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            • 10．

              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过抛物线\(M\)：\(x^{2}=4y\)的焦点\(F\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(C\)的左、右焦点，且\( \overrightarrow{F_{1}F}\cdot \overrightarrow{F_{1}F_{2}}=6\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与抛物线\(M\)相切，且与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle OAB\)面积的最大值．
              难度：难
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