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          共50条信息

            • 1．
              椭圆\( \dfrac {y^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {x^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两焦点为\(F_{1}(0,-c)\)，\(F_{2}(0,c)(c > 0)\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，焦点到椭圆上点的最短距离为\(2- \sqrt {3}\)，求椭圆的方程．
              难度：较易
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)过点\(A(2,0)\)，\(B(0,1)\)两点．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程及离心率；
              \((2)\)设\(P\)为第三象限内一点且在椭圆\(C\)上，直线\(PA\)与\(y\)轴交于点\(M\)，直线\(PB\)与\(x\)轴交于点\(N\)，求证：四边形\(ABNM\)的面积为定值．
              难度：难
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的焦点\(F_{1}\)的坐标为\((-c,0)\)，\(F_{2}\)的坐标为\((c,0)\)，且经过点\(P(1, \dfrac {3}{2})\)，\(PF_{2}⊥x\)轴．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两不同点，在椭圆\(C\)上是否存在一点\(M\)，使四边形\(AMBF_{2}\)为平行四边形？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 4．
              在平面\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\(P(2,1)\)，且离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)直线\(l\) 方程为\(y=- \dfrac {1}{2}x+1\)，直线\(l\) 与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\)的值．
              难度：较易
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            • 5．
              已知\(F_{1}(-1,0)\)，\(F_{2}(1,0)\)是椭圆的两个焦点，过\(F_{1}\)的直线\(l\)交椭圆于\(M\)，\(N\)两点，若\(\triangle MF_{2}N\)的周长为\(8\)，则椭圆的标准方程为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)
              B．\( \dfrac {y^{2}}{4}+ \dfrac {x^{2}}{3}=1\)
              C．\( \dfrac {x^{2}}{16}+ \dfrac {y^{2}}{15}=1\)
              D．\( \dfrac {y^{2}}{16}+ \dfrac {x^{2}}{15}=1\)
              难度：易
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            • 6．
              已知椭圆\(E\)的方程为\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\) \((a > b > 0\) \()\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，圆\(C\)的方程为\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}= \dfrac {20}{3}\)，若椭圆\(E\)与圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且线段\(AB\)恰好为圆\(C\)的直径．
              \((1)\)求直线\(AB\)的方程；
              \((2)\)求椭圆\(E\) 的标准方程．
              难度：难
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，右焦点到直线\(x+y+ \sqrt {2}=0\)的距离为\(2\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)椭圆\(C\)的下顶点为\(A\)，直线\(y=kx+m(k\neq 0)\)与椭圆\(C\)相交于不同的两点\(M\)，\(N\)，当\(|AM|=|AN|\)时，求\(m\)的取值范围．
              难度：难
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            • 8．
              如图，椭圆\(C_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {5}}{3}\)，抛物线\(C_{2}\)：\(y=-x^{2}+2\)截\(x\)轴所得的线段长等于\( \sqrt {2}b.C_{2}\)与\(y\)轴的交点为\(M\)，过点\(P(0,1)\)作直线\(l\)与\(C_{2}\)相交于点\(A\)，\(B\)，直线\(MA\)，\(MB\)分别与\(C_{1}\)相交于\(D\)、\(E\)．
              \((1)\)求证：\( \overrightarrow{MA}⊥ \overrightarrow{MB}\)；
              \((2)\)设\(\triangle MAB\)，\(\triangle MDE\)的面积分别为\(S_{1}\)、\(S_{2}\)，若\(S_{1}=λ^{2}S_{2}(λ > 0)\)，求\(λ\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，直线\(x-y+2b=0\)与圆\(x^{2}+y^{2}=2\)相切，且与\(y\)轴交于\(M\)点．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若过点\(M\)的直线\(l\)与椭圆相交于\(A\)，\(B\)两点，点\(P\)是\(AB\)的中点，且点\(Q\)坐标为\((- \dfrac {9}{10},0)\)，当\(PQ⊥AB\)时，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 10．
              如图，在直角坐标\(xOy\)中，设椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右两个焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，过右焦点\(F_{1}\)且与\(x\)轴垂直的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交，其中一个交点为\(M( \sqrt {2},1)\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知\(A(2,0),B(0, \sqrt {2})\)经过点\((0,2)\)且斜率为\(k\)直线\(l\)与椭圆\(C\)有两个不同的\(P\)和\(Q\)交点，请问是否存在常数\(k\)，使得向量\( \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}\)与\( \overrightarrow{AB}\)共线？如果存在，求出\(k\)的值；如果不存在，请说明理由．
              难度：较易
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