知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y²=2px经过点（4，2），则实数p= ．

难度：较易

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2．已知点F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，
2
2
）满足线段MF的中点在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．

难度：中等

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3．顶点在原点，焦点为F（1，0）的抛物线方程为．

难度：中等

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4．顶点在原点，准线方程为x=2的抛物线的方程为．

难度：中等

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5．抛物线的顶点在原点，准线方程为x=3，则抛物线方程为（　　）

A．y²=-12x

B．y²=-6x

C．y²=12x

D．y²=6x

难度：较易

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6．如图，已知圆O：x²+y²=a²（a＞0）过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4
（1）求圆O和抛物线C的标准方程；
（2）若P为抛物线C在第一象限内的点，抛物线在点P处的切线y=kx+b（设为l₁）被圆O截得的弦长为
95
5
，直线l₂过点P且垂直直线l₁，设l₂与抛物线的另一交点为M，求弦PM的长．

难度：较难

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7．如图，设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，P是抛物线上一定点，其坐为（x₀，y₀）（x₀≠0），Q为线段OF的垂直平分线上一点，且点Q到抛物线的准线l的距离为
3
2
．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB，分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值-
2
y0
，求证：直线PA、PB的倾斜角互补．

难度：较难

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8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）和⊙M：（x-4）²+y²=r²（0＜r≤1），圆心M到抛物线C的准线的距离为
17
4
，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线分别与⊙M相切与A、B两点，与抛物线C交于E、F两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（3）若r=1时，直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

难度：中等

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9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点F是双曲线：
3x2
5
-
3y2
7
=1的一个焦点；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F任作直线l与曲线C交于A，B两点．
①求
OA
•
OB
的值；②由点A，B分别向（x-2）²+y²=1各引一条切线切点分别为P、Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求cosα+cosβ的值．

难度：较难

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10．已知曲线C：x²=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k₁、k₂，试探求k₁、k₂的关系，并证明你的结论．

难度：较难

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