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          共50条信息

            • 1． 如图，抛物线C1：y2=2px（p＞0）与椭圆C2：
              y2
              a2
              +
              x2
              4
              =1（a＞2）交于第一象限内一点M，F为抛物线C1的焦点，F1，F2分别为椭圆C2的上下焦点，已知|
              MF
              -|
              OF
              |=1，|
              MF
              -
              OF
              |=
              		10
              ．
              （1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；
              （2）是否存在经过M的直线l，与抛物线和椭圆分别交于非M的两点P，Q，使得
              F1P
              +
              F2Q
              =2
              OM
              ？若存在请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 设p＞0，抛物线方程为C：x2=2px．如图所示，过焦点F作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过点（0，-1）．
              （1）求满足条件的抛物线方程；
              （2）过点（0，-2）作抛物线C的切线，若切点在第二象限，求切线m的方程．
              难度：较难
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            • 3． 已知抛物线y2=2px（p＞0），点E（2，1），若斜率为2的弦过点E，且以E为弦中点．
              （1）求抛物线方程；
              （2）若AB是抛物线过点C（0，-3）的任一弦，点M是抛物线准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与抛物线交于P，Q两点，求证：直线PQ的斜率为定值，并求|PQ|的取值范围．
              难度：中等
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            • 4． 已知抛物线C1：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；椭圆C2：
              y2
              a2
              +
              x2
              b2
              =1(a＞b＞0)              的离心率e=
              		2
              2
              ，且过抛物线的焦点F．
              （Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
              （Ⅱ）过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
              NA
              =λ
              AF
              ，
              NB
              =μ
              BF
              ，求证：λ+μ为定值．
              （Ⅲ）直线l2交椭圆C2于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，
              OP
              •
              OQ
              +
              OP′
              •
              OQ′
              +1=0，若点S满足：
              OS
              =
              OP
              +
              OQ
              ，证明：点S在椭圆C2上．
              难度：较难
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            • 5． 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=-
              1
              2
              ，过点M（4，0）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O），直线l过点M与抛物线交于两点P、Q，与直线OA交于点N．
              （1）求抛物线的方程；
              （2）试问
              |MN|
              |MP|
              +
              |MN|
              |MQ|
              的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
              难度：中等
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            • 6． 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
              （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
              （Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．
              难度：中等
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            • 7． 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和⊙M：（x-4）2+y2=r2（0＜r≤1），圆心M到抛物线C的准线的距离为
              17
              4
              ，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线分别与⊙M相切与A、B两点，与抛物线C交于E、F两点．
              （1）求抛物线C的方程；
              （2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
              （3）若r=1时，直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．
              难度：中等
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            • 8． 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点F是双曲线：
              3x2
              5
              -
              3y2
              7
              =1的一个焦点；
              （1）求抛物线C的方程；
              （2）过点F任作直线l与曲线C交于A，B两点．
              ①求
              OA
              •
              OB
              的值；②由点A，B分别向（x-2）2+y2=1各引一条切线切点分别为P、Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求cosα+cosβ的值．
              难度：较难
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            • 9． 已知曲线C：x2=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
              （Ⅰ）求曲线C的方程；
              （Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．
              难度：较难
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            • 10． 已知抛物线C：y=x2，过点M（1，1）作两条相互垂直的直线，与抛物线的另两个交点分别为A，B
              （Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
              （Ⅱ）直线AB是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
              难度：较难
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