知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．

难度：难

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2．已知直线y=ax+1和抛物线y²=4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求实数a的值，使得以AB为直径的圆过F点．

难度：较易

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3．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）如果直线l过抛物线的焦点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值；
（3）如果 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D-4$ ，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．

难度：较易

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4．倾斜角 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的直线l过抛物线y²=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）求直线l的方程．
（2）求线段AB长．

难度：较易

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5．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上任取一点P（x₀，2），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M，N，连接MN，若直线
PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k₁，k₂，k₃，求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B1%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B3%7D%7D$ 的值．

难度：中等

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6．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的直线l被E截得的线段长为8．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．

难度：较易

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7．如图，抛物线C：y²=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．
（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；
（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．

难度：难

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8．已知抛物线y²=2px（p＞0）截直线y=2x-4所得弦长 $%7CAB%7C%3D3%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ，
（ I）求抛物线的方程；
（ II）设F是抛物线的焦点，求△ABF的外接圆上的点到直线AB的最大距离．

难度：较易

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9．如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ，直线l和抛物线y²=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P、M两点间的距离|PM|；
（2）线段AB的长|AB|．

难度：较易

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10．已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）设直线l的斜率为k，当线段AB的长等于5时，求k的值．
（3）求抛物线y²=4x上一点P到直线2x-y+4=0的距离的最小值．并求此时点P的坐标．

难度：较易

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