知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2014秋•盐城校级期末）如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶4m时，水面的宽6m．经过一段时间的降雨后，水面上升了1m，此时水面宽度为 m．

难度：较难

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2．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线x²-
y2
3
=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点 A在抛物线上且 AK=
2
AF，则△AFK的面积为．

难度：中等

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3．已知双曲线
x2
m
-
y2
n
=1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y=
1
12
x²的焦点相同，那么则m= ，n= ．

难度：较难

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4．已知抛物线M：y²=4x，圆F：（x-1）²+y²=1，过点F作直线l，自上而下依次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），T（-1，0）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|；
（Ⅱ）作D关于x轴的对称点M，求证：T，A，M三点共线；
（Ⅲ）作C关于x轴的对称点S，求S到直线l的距离的最大值．

难度：较难

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5．如图是一块外轮廓线（A，B间的曲线部分）为抛物线的钢板，MN为抛物线的对称轴，A，B是抛物线上关于MN对称的两点，其中AB=2，MN=1，先要将其割成矩形PQRS，使矩形的两个顶点P，Q落在线段AB上，另两个顶点R，S落在抛物线上．（1）建立适当的直角坐标系，求出这一抛物线的方程；
（2）求矩形PQRS面积的最大值．

难度：中等

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6．奥运会的圣火采集器是一个凹面镜，这个凹面镜与其轴截面的交线是一条抛物线，如图1所示，太阳光经凹面镜反射会聚于点火点，把火炬放在点火点处，即可被点燃．已知凹面镜的镜口直径是a，镜深是b．求点火点到凹面镜的顶点的距离．

难度：中等

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7．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否在此通过？

难度：中等

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8．如图是抛物线型拱桥，在平时，水面离拱顶3米，水面宽为2
6
米，由于连续降雨，水位上涨了1米，则此时水面宽为．

难度：中等

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9．已知抛物线y=
3
3
x²+
2
3
3
x-
3
与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△BCM为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若△OBC沿x轴以每秒1个单位向左平移，当点C正好移动到抛物线上时，停止移动，求移动过程中△OBC和△AOC重叠部分的面积S与时间t的函数关系式；
（4）把抛物线向上平移
2
3
3
个单位，然后再向右平移m个单位，若平移后抛物线的顶点恰好在△ABC内部，请直接写出m的取值范围．

难度：中等

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10． 2013年国家加大了对环境污染监测力度，为此某市环保部门在市里的一条污水河的桥孔处进行了隔离封闭改造，桥孔的横断面为抛物线形（如下图所示），已知水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水上升0.5米后，水面宽变为米．

难度：中等

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