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          共50条信息

            • 1． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=8x的焦点为F，椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=
              1
              2
              ，且F是椭圆Σ的一个焦点．
              （1）求椭圆Σ的标准方程；
              （2）过F作垂直于x轴的直线，与椭圆Σ相交于A、B两点，试探究在椭圆Σ上是否存在点P，使△PAB为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 2． 已知常数a＞0，向量
              m
              =（0，a），
              n
              =（1，0）经过定点A（0，-a）以
              m
              +λ
              n
              为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以
              n
              +2λ
              m
              为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．
              （I）求点P的轨迹C的方程；
              （Ⅱ）若a=
              		2
              2
              ，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求
              EM
              •
              EN
              的取值范围．
              难度：较难
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            • 3． 椭圆C的中心在原点，并以双曲线
              y2
              4
              -
              x2
              2
              =1              的焦点为焦点，以抛物线x2=-6
              		6
              y              的准线到原点的距离为
              a2
              c

              （1）求椭圆C的方程；
              （2）设直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线l′：y=mx+1（m≠0）对称，求k的值．
              难度：中等
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            • 4． 已知椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的离心率e=
              		3
              2
              ，且短半轴b=1，F1，F2为其左右焦点，P是椭圆上动点．
              （Ⅰ）求椭圆方程．
              （Ⅱ）当∠F1PF2=60°时，求△PF1F2面积．
              （Ⅲ）求
              PF1
              •
              PF2
              取值范围．
              难度：较难
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            • 5． 如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
              x2
              4
              +
              y2
              2
              =1              的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A、B两点，其中A在第一象限．过点A作x轴的垂线，垂足为C．设直线AB的斜率为k．
              （1）若直线AB平分线段MN，求k的值；
              （2）当k=2时，求点A到直线BC的距离．
              难度：中等
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            • 6． 如图，椭圆C：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的左焦点为F(-2
              		3
              ，0)              ，上下顶点分别为A，B，已知△AFB是等边三角形．
              （Ⅰ）求椭圆C的方程；
              （Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l交椭圆C于M、N两点，求证：|MN|=
              8
              4-3cos2α
              ．
              难度：较难
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            • 7． 如图，椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、
              F2（1，0），M、N是直线x=a2上的两个动点，且
              F1M
              •
              F2N
              =0              ．
              （1）设曲线C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
              （2）若以MN为直径的圆中，最小圆的半径为2
              		2
              ，求椭圆的方程．
              难度：较难
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            • 8． 已知抛物线y2=2px（p＞0），椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1(a＞b＞0)              ，双曲线
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1(a＞0，b＞0)              ，如图示，K为与焦点F对应的准线与x轴的交点，AB为过焦点的垂直于x轴的弦．
              （1）在抛物线中，已知∠AKB为直角，则在椭圆和双曲线中∠AKB还为直角吗？试证明你的合情推理所得到的结论；
              （2）在抛物线中，已知直线KA与抛物线只有一个公共点A，则在椭圆和双曲线中也有类似的性质吗？试选择椭圆证明你的类比推理．
              难度：中等
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            • 9． 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
              （1）求抛物线C的方程．
              （2）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE和△BDF；按此方法继续下去．
              解决下列问题：
              ①求证：a2=
              16(1-kb)
              k2
              ；
              ②计算△ABD的面积S△ABD；
              ③根据△ABD的面积S△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
              难度：较难
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            • 10． 如图，已知椭圆C1：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1(a＞b＞0)              的一条准线方程是x=
              25
              4
              ，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1              的一条渐近线方程为3x-5y=0．
              （1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的方程；
              （2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，直线AP、PB分别交椭圆C1于点M、点N，若△AMN与△PMN的面积相等．①求P点的坐标 ②求证：
              MN
              •
              AB
              =0              ．
              难度：中等
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