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          共50条信息

            • 1． 如图，已知F1、F2分别为椭圆C1：
              y2
              a2
              +
              x2
              b2
              =1(a＞b＞0)              的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
              5
              3
              ．
              （1）求椭圆C1的方程；
              （2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：
              AP
              =-λ
              PB
              ，
              AQ
              =λ
              QB
              （λ≠0且λ≠±1），
              求证：点Q总在某条定直线上．
              难度：中等
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            • 2． 对于双曲线C：
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1，(a＞0，b＞0)              ，定义C1：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              ，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
              （1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程；
              （2）若双曲线C的方程为
              x2
              4
              -
              y2
              2
              =1              ，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程；
              （3）过双曲线C：x2-y2=1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N1、N2两点，求证：对任意的k∈[-2-
              1
              4
              ，2-
              1
              4
              ]              ，在伴随曲线C1上总存在点S，使得
              FN1
              •
              FN2
              =
              FS
              2              ．
              难度：较难
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            • 3． 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足：△ABC的周长为2+2
              		2
              ，记动点C的轨迹为曲线W．
              （Ⅰ）求W的方程；
              （Ⅱ）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
              （Ⅲ）设E曲线W上的一动点，M（0，m），（m＞0），求E和M两点之间的最大距离．
              难度：较难
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            • 4． 已知椭圆C的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），点P(-1，
              		2
              2
              )              在椭圆上．
              （1）求椭圆C的方程；
              （2）若抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求p的值．
              难度：中等
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            • 5． 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=
              		2
              2
              ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
              （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
              （Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
              难度：较难
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            • 6． 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和⊙M：x2+y2-8x+12=0，过抛物线C上一点P（x0，y0）（y0≥0）作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为
              9
              2
              ．
              （Ⅰ）求抛物线C的方程；
              （Ⅱ）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；
              （Ⅲ）设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=
              1
              2
              ，求点P（x0，y0）的坐标．
              难度：较难
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            • 7． 已知抛物线C1：x2+by=b2经过椭圆C2：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C1上，
              （1）求C1和C2的方程．
              （2）有哪几条直线与C1和C2都相切？（求出公切线方程）
              难度：中等
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            • 8． 已知A，B分别是椭圆C1：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．
              （I）若P（
              		5
              2
              ，
              		3
              ），Q（
              5
              2
              ，1），求椭圆Cl的方程；
              （Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；
              （Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．
              难度：较难
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            • 9． 已知椭圆E：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：x2+y2+
              		3
              x-3y-6=0              过A，F2两点．
              （1）求椭圆E的方程；
              （2）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率kQB，kQC存在且不为0，求证：kQB•kQC为定值；
              （3）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β-α=
              2π
              3
              时，证明：点P在一定圆上．
              难度：较难
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            • 10． 设0＜θ＜
              π
              2
              ，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点．
              （Ⅰ）求θ的取值范围；
              （Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．
              难度：较难
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