知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆C₁：x²+y²=r²（r＞0）的一条直径是椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C₂上一点D（1，
3
2
）的动直线l与圆C₁相交于点A、B，弦AB长的最小值是
3

（1）圆C₁和椭圆C₂的方程；
（2）椭圆C₂的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m、n，设直线m交圆C₁于点P、Q，直线n与椭圆C₂于点M、N，求四边形PMQN面积的取值范围．

难度：中等

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2．已知椭圆
x2
2
+y²=1，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，c为半焦距，P为直线x=2上一点．直线PF₁，PF₂与圆x²+y²=1的另外一个交点分别为M、N两点．
（Ⅰ）椭圆上是否存在一点Q，使得∠F₁QF₂=
π
2
？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求证：直线MN恒过一定点．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为e=
2
5
5
，过右焦点作垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
8
5
5
+4．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点B（-2，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，交圆O：x²+y²=8于M，N两点，若|MN|∈[4，2
7
]，求△OPQ面积的取值范围．

难度：中等

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4．已知直线y=x-2与圆x²+y²-4x+3=0及抛物线y²=8x的四个交点从上到下依次为A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|= ．

难度：中等

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5．抛物线C₁：x²=2y的焦点为F，以F为圆心C₂交C₁于A，B两点，交C₁准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则C₂的标准方程为（　　）

A．x²+（y-

）²=4

B．（x-

）²+y²=4

C．x²+（y-

）²=2

D．（x-

）²+y²=2

难度：较难

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6．已知P是抛物线y²=4x上的一个动点，Q是圆（x-3）²+（y-1）²=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．

难度：较难

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7．已知点M（2，1），N（-2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

难度：较难

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A(-
2
2
，
3
2
)，离心率为
2
2
，点F₁，F₂分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且
OP
⊥
OQ
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．已知圆M：x²+（y-1）²=1，圆N：x²+（y+1）²=1，直线l₁，l₂分别过圆心M，N，且l₁与圆M相交于A，B，l₂与圆N相交于C，D，P是椭圆
x2
3
+
y2
4
=1上的任意一动点，则
PA
•
PB
+
PC
•
PD
的最小值为．

难度：较难

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10．设P是椭圆

=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（　　）

A．9，12

B．8，11

C．8，12

D．10，12

难度：较难

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