知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M₁（26，1），M₂（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（-2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

难度：难

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2．点P（4，-2）与圆x²+y²=4上任一点连线的中点轨迹方程是 ______ ．

难度：较易

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3．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．

难度：较易

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4．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l₁、l₂，若l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

难度：较易

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5．一动点在圆x²+y²=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是 ______ ．

难度：较易

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6．已知定点A $%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点B在圆F： $x%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D16$ 上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线Q： $x%5E%7B2%7D-2ax%2By%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ 被轨迹E包围着，求实数a的最小值；
（3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

难度：较易

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7．已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？
（3）若定点P（1，1）分弦AB为 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BAP%7D$ ，求l方程．

难度：中等

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8．为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过 $%20%5Cfrac%20%7B6%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示，设线段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

难度：中等

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9．在直角坐标系中，以原点O为圆心，r为半径的圆与直线 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ x-y+4=0相切．
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点（其中点B在x轴正半轴上）动点P满足|PA|+|PB|=4r，求动点P的轨迹方程
（3）过点B有一条直线l，l与直线 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ x-y+4=0平行且l与动点P的轨迹相交于C、D两点，求△OCD的面积．

难度：较易

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10．已知在平面直角坐标系中，点M（x，y）到两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比等于 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）已知点P（x，y）为所求轨迹上任意一点，求2x²+y²的最大值．

难度：较易

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