知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值．

难度：较易

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2．一个四棱椎的三视图如图所示：
（I）求证：PA⊥BD；
（II）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°？若存在，求 $%20%5Cfrac%20%7B%7CDQ%7C%7D%7B%7CDP%7C%7D$ 的值；若不存在，说明理由．

难度：较易

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的
中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试
确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPC%7D$ 的值．

难度：较易

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4．在直角梯形ABCD中，AD∥BC， $BC%3D2AD%3D2AB%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角为θ（如图2）
（1）若 $%CE%B8%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，求证：CD⊥AB；
（2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；
（3）若 $%CE%B8%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得 $%20%5Cfrac%20%7BAP%7D%7BPB%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BNQ%7D%7BQD%7D%3D%CE%BB%28%CE%BB%E2%88%88R%29$ ．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ₁和θ₂．求sinθ₁+sinθ₂的最大值．

难度：中等

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5．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．

难度：较难

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6．在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若PD=DA，M是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BDM；
（Ⅱ）求二面角B-DM-C的余弦值．

难度：较易

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7．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B

（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．

难度：较易

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8．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2 $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，M为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：MC⊥AB；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若点P为CC₁的中点，求二面角B-AP-C的余弦值．

难度：较易

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9．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC，设AB=2．
（1）求二面角E-AC-D₁的余弦值；
（2）在D₁E上是否存在一点P，使A₁P∥面EAC？若存在，求D₁P：PE的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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10．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

难度：较易

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