知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，SB=
29
．
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值．

难度：中等

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2．（2012•江苏模拟）已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是．

难度：中等

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3．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求证：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值为
10
5
，求PB的长．

难度：中等

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4．如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=
6
．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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5．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求CM与平面CDE所成角的大小．

难度：较难

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6．已知向量
a
=(2，-1，3)，
b
=(-4，2，x)，若
a
⊥
b
，则x= ；若
a
∥
b
则x= ．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M，N分别为PB，BC的中点，且PA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）若PA=1，求二面角M-AC-N的大小．

难度：中等

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8．在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为
AD的中点．（1）证明：EM⊥AB；（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值．

难度：较易

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9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）证明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D₁E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为
π
4
．

难度：较难

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10．设
a
=(2，6，-3)，则与
a
平行的单位向量的坐标为，同时垂直于
a
=(2，2，1)，
b
=(4，5，3)的单位向量
e
= ．

难度：中等

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