知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． △ABC的三个顶点分别是A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则AC边上的高BD长为．

难度：中等

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2．在正四棱锥V-ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点，点 M 在边 BC 上，且 BM：BC=1：3，AB=2
3
，VA=6．
（I ）求证CQ丄AP；
（II）求二面角B-AP-M的余弦值．

难度：中等

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3．在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2
3
，E、G分别为PC、PA的中点．
（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

难度：中等

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4．如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）当AP为何值时，二面角C₁-PB₁-A₁的大小为
π
6
？

难度：中等

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5．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．
（Ⅰ）证明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2
3
AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．

难度：中等

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6．如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：
①a=
3
2
；②a=1；③a=
3
；建立适当的空间直角坐标系，
（ I）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由；
（ II）在满足（ I）的条件下，若a取所给数据的最小值时，这样的点Q有几个？若沿BC方向依次记为Q₁，Q₂，…，试求二面角Q₁-PA-Q₂的大小．

难度：较难

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7．已知边长为2的菱形ABCD，如图（a）所示，∠BAD=60°，过D点作DE⊥AB于E点，现沿着DE折成一个直二面角，如图（b）所示；
（1）求AC与BD所成角的余弦值；
（2）求点D到平面ABC的距离；
（3）连接CE，在CE上取点G，使EG=
2
7
7
，连接BG，求证：AC⊥BG．

难度：中等

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8．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）求二面角M-BD-A的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，E是侧棱CC₁上的任意一点，在线段A₁C₁上是否存在一个定点P，使得D₁P都垂直于AE，证明你的结论．

难度：中等

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10．已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=
1
4
CD．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函数表示）．

难度：中等

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