知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值；
（Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B15%7D%7D%7B5%7D$ ．

难度：难

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2．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求证：CM∥平面BEF；
（3）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

难度：中等

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3．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，点E在棱CD上，且 $CE%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7DCD$ ．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在点P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B30%7D%7D%7B6%7D$ ，求棱AB的长．

难度：较易

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4．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

难度：较易

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

难度：较易

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6．证：PD⊥平面BE；
在四P-ABCD中，P⊥底面ABCDAB⊥A，C⊥CD∠C=60°，A=AB=BC，EPC中点．
求二面BP-D的余弦值．

难度：较易

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7．如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD的交点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；
（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B-EC-D的正弦值．

难度：较易

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8．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B4%7D$ ，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：难

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9．如图，在三棱锥D-ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-CD-M的余弦值．

难度：较易

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）证明：AE⊥平面PCD；
（3）求二面角A-PD-C得到正弦值．

难度：中等

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