知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1，点E在棱PC上，且DE⊥PB．
（Ⅰ）求CE的长；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的正弦值．

难度：中等

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2．如图，△BCD与△ECD都是边长为2的正三角形，平面ECD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
3
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求点A到平面EBC的距离；
（Ⅲ）求平面ACE与平面BCD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC=90°，AB=2，求二面角E-PC-B的余弦值．

难度：中等

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4．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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5．（2014秋•云南校级月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）点M在线段PC上，二面角M-BQ-C为60°，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求三棱锥M-BCQ的体积．

难度：中等

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6．在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求异面直线PA，BC所成角；
（2）设Q为棱PC上一点，
PQ
=λ
PC
，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为60°．

难度：中等

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7．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求直线DD₁与平面AB₁C所成角的正弦值；
（2）求平面AB₁C与平面AB₁D₁所成角的余弦值．

难度：中等

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8．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD=2AB=2AA′=2．
（1）求证：A′B⊥平面ADC′；
（2）求二面角D′-AC-D的正切值．

难度：中等

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9．如图所示，AD∥BC∥EF，平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，BE⊥EF，AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G为BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求二面角D-BF-C的余弦值．

难度：中等

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10．如图所示，在四棱锥A-BCDE中，AE⊥面EBCD且四边形EBCD是菱形，∠BED=120°，AE=BE=2，F是BC上的动点．
（1）当F是BC的中点时，求证：平面AEF⊥平面ABC；
（2）当点F在由B向C移动的过程中能否存在一个位置使得二面角A-FD-E的余弦值是
3
10
，若存在，求出BF的长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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