知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（1）求证：DE⊥平面ACD；
（2）若AC=BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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2．如图，圆柱OO₁内接直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，该三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，且AB=AA₁．在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P
（1）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（2）记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求sinθ的值．

难度：中等

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3．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥B-AA₁C₁C中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-C的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段上BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求
BD
BC1
的值．

难度：中等

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6．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是线段BC的中点．
（1）求证：PE⊥AD；
（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAE，并给出证明．

难度：中等

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7．已知四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，E，F分别为AD，PC的中点，EF⊥BD，2AP=2AB=AD，以AD为直径的圆经过点B
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若AB=PB，求二面角C-BE-F的余弦值．

难度：中等

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8．如图，已知四棱柱ABD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD=2AB=2AD，AD=1，AA₁=
2
．
（Ⅰ）求证：EA₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-D₁的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，四边形AA₁B₁B是矩形，A₁C₁=A₁B₁，∠B₁A₁C₁=120°，BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC．
（1）求证：A₁C⊥B₁C₁；
（2）当二面角C-AC₁-B₁的正切值为2时，求
AA1
A1B1
的值．

难度：较难

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10．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点，E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面ABD内的影射恰好是△SBD的重心G
（Ⅰ）求证：△SBD是等边三角形；
（Ⅱ）设AB=a，求二面角B-SD-C余弦值的大小．

难度：中等

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