知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是线段BC的中点．
（1）求证：PE⊥AD；
（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAE，并给出证明．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC＜2，E是PB的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
2
3
，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值．

难度：中等

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3．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
π
3
，求
DC
BC
的值．

难度：中等

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4．如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=
1
2
BC=a，E是
BC的中点，将△BAE沿AE折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（1）证明：AE⊥B₁D；
（2）求二面角F-AC-B₁的余弦值．

难度：中等

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5．已知四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，E，F分别为AD，PC的中点，EF⊥BD，2AP=2AB=AD，以AD为直径的圆经过点B
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若AB=PB，求二面角C-BE-F的余弦值．

难度：中等

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6．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC中，AE=
3
，平面AEFC⊥平面ABCD，点G是线段EF的中点
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG
（Ⅱ）求二面角D-GC-B的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在三棱锥S-ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=
6
，∠ABC=
π
2
，D、E分别是SA、SC的中点．
（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；
（II）求二面角S-BD-E的平面角的大小．

难度：中等

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8．如图，已知四边形AA₁C₁C和AA₁B₁B都是菱形，平面AA₁B₁B和平面AA₁C₁C互相垂直，且∠ACC₁=∠BAA₁=60°，AA₁=2
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求四面体A-CC₁B₁的体积；
（Ⅲ）求二面角C-AB-C₁的正弦值．

难度：较难

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9．如图，已知四棱柱ABD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD=2AB=2AD，AD=1，AA₁=
2
．
（Ⅰ）求证：EA₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-D₁的余弦值．

难度：中等

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10．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=1．
（1）求证：CD⊥平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥AC时，求二面角C-AB-M的余弦值．

难度：中等

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