知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）若二面角E-BC-F与二面角F-BC-D的大小相等，求DF长．

难度：中等

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2．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，F为直线CC₁上的动点，设
C1F
=λ
FC

（1）当λ=1时，求二面角F-DE-C的余弦值；
（2）当λ为何值时，有BD₁⊥EF？

难度：中等

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3．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2a，AA1=t•a（t＞0，t∈R），∠BAC=120°，
（1）若在BC上存在点D，使DA₁⊥平面AB₁C₁，求实数t的值，并判断D点的位置；
（2）在（1）成立的条件下，求二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值．

难度：中等

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4．如图，已知△AOB，∠AOB=
π
2
，∠BAO=θ，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为
π
2
．
（Ⅰ）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ）当
π
2
∈[
2π
3
，θ]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

难度：中等

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5．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一点P，使得
AP
=λ
PA1
，当二面角A-B₁C₁-P的大小为30⁰时，求实数λ的值．

难度：中等

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6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；
（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A-PD-Q的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA1=
3
，AB=2，P在A₁B₁上，且A₁P=3PB₁．
（I）求证：PD⊥AD₁；
（II）求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）求点B到平面DD₁P的距离．

难度：中等

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8．如图所示，已知ABCD是正方形，边长为2，PD⊥平面ABCD．
（1）若PD=2，①求异面直线PC与BD所成的角，②求二面角D-PB-C的余弦值；
③在PB上是否存在E点，使PC⊥平面ADE，若存在，确定点E位置，若不存在说明理由；
（2）若PD=m，记二面角D-PB-C的大小为θ，若θ＜60°，求m的取值范围．

难度：中等

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9．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）设PC=
2
BC．E为PB的中点，求二面角A-ED-B的大小．

难度：中等

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，EF分别是PB、AD的中点，
（I）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-CE-F的大小．

难度：中等

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