知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湖南二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为
6
3
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在底面为菱形ABCD的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABC=60°，AA₁=AB=2，A₁B=A₁D=2
2
．
（1）求证：AA₁⊥面ABCD．
（2）若点E在A₁D上，且
A1E
ED
=2，求二面角E-AC-D．

难度：中等

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2
2
．
（1）求证：CD⊥平面CPAC；
（2）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所E，F成角的正弦值为
10
5
，求
AN
NB
的值．

难度：中等

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4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若BD与平面PBC的所成角为30°，求二面角P-BC-D的余弦值．

难度：中等

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5．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，四边形AA₁B₁B是矩形，A₁C₁=A₁B₁，∠B₁A₁C₁=120°，BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC．
（1）求证：A₁C⊥B₁C₁；
（2）当二面角C-AC₁-B₁的正切值为2时，求
AA1
A1B1
的值．

难度：较难

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6．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁C=CA=AB=a，AA₁=
2
a，AB⊥AC，D为AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB₁A_l
（Ⅱ）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁一A的大小为
π
3
．

难度：中等

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7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，侧棱AA₁⊥平面ABC，D为棱A₁B₁上的动点，E为AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=
1
4
AB．
（1）设
A1D
DB1
=λ，当λ为何值时，EF∥平面BC₁D；
（2）在（1）条件下，求二面角E-BC₁-D的余弦值．

难度：中等

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8．如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为1的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，∠BCF=90°
（Ⅰ）求成：BD⊥AE
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的大小．

难度：中等

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9．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点，E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面ABD内的影射恰好是△SBD的重心G
（Ⅰ）求证：△SBD是等边三角形；
（Ⅱ）设AB=a，求二面角B-SD-C余弦值的大小．

难度：中等

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10．如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

难度：中等

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