知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1．则下列结论中正确的是①PA⊥BC②△ABC为正三角形③体积为
1
2
④表面积为
3+
3
2
，将你认为正确的序号填上．

难度：较难

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2．将一个四面体PABC铁皮盒沿侧棱PA，PB，PC剪开，展平后恰好成一个正三角形．
（Ⅰ）在四面体PABC中，求证：PA⊥BC．
（Ⅱ）若PA=
2
，求铁皮盒的容积．

难度：中等

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3．如图，四棱锥S-ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．
（Ⅰ）求证：SB=SD；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．

难度：较难

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC，求证：
（Ⅰ）PC∥平面BED；
（Ⅱ）BC⊥PC．

难度：中等

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5．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=4，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求三棱锥D-PBC的高．

难度：中等

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6．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=
3
，点F是PB的中点，点E边BC上移动．
（1）无论点E在边BC何处，都有PE⊥AF；
（2）当点E为BC的中点时，求点D到平面PAE的距离．

难度：中等

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7．已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：
①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA=PB=PC；
③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为

；
④若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的外接球体积为

125

；
其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：较难

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8．用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方体的那个顶点作为三棱锥的顶点，则该顶点在三棱锥的底面上的射影是这个三角形的（　　）

A．重心

B．外心

C．内心

D．垂心

难度：较易

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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10．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC₁D处（不与平面ABCD重合），E，F分别为对边AB，C₁D的中点，
（Ⅰ）求证：EF⊥BD；
（Ⅱ）若异面直线EF，BC₁所成的角为30°，求二面角C₁-AB-D的平面角的正切值．

难度：中等

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