知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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2．（2016•台州一模）如图，五面体ABCDE中，AB∥CD，CB⊥平面ABE，AE⊥AB，AB=AE=2，BC=
2
，CD=1．
（1）求证：直线BD⊥平面ACE；
（2）求二面角D-BE-C的平面角的余弦值．

难度：中等

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3．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为．

①ED⊥平面ACD
②CD⊥平面BED
③BD⊥平面ACD
④AD⊥平面BED．

难度：中等

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4．（2016春•云南校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，CC₁=2，BC₁=
3
．
（1）求证：BC₁⊥平面ABC；
（2）当二面角A-CC₁-B为
π
3
时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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5．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，AC=AA₁=2
2
，E为A₁C上一点，且A₁C=4EC，F为AC的中点．
（1）证明：A₁C⊥平面BEF；
（2）若平面A₁BC⊥平面A₁B₁BA，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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6．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，∠DAB=60°，AA₁⊥面ABCD，且AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．
（1）求证：FM⊥平面BDD₁B₁；
（2）求三棱锥D₁-BDF的体积．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：AF⊥面EDP；
（2）设异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的最大值．

难度：中等

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8．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）证明：A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁-DE-B的大小的正切值．

难度：较难

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9．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB、SAC均为边长为
2
等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

难度：中等

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10．如图，长方体AC₁中，已知AB=BC=a，BB₁=b（b＞a），连结BC₁，过B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于E，交BC₁于Q．
（1）求证：AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）求点C₁到平面B₁ED₁的距离．

难度：中等

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