知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•凉山州模拟）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面BB₁C₁C是边长为2的正方形，点A₁在平面BB₁C₁C上的射影H是BC₁的中点，且A₁H=
3
，G是CC₁的中点．
（1）求证：BB₁⊥A₁G；
（2）求C到平面A₁B₁C₁的距离．

难度：中等

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2．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2
2
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

难度：中等

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3．（2015秋•哈尔滨校级月考）如图，底面为菱形P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABD=60°，E为PC上一动点，PA=AB．
（1）求证BD⊥AE；
（2）当AE⊥平面PBD时，求
PE
CE
的值；
（3）在（2）的条件下，求AE与平面PBD所成角的正弦值．

难度：中等

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4．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为AB、A₁B₁中点，现已给出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的左视图．
（1）请画出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的主视图和俯视图；
（2）请在线段BC上找一点M，使得点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D，在图中画出α与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁相交所成的截面，说出BM的长度，并给出证明．

难度：中等

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5．设P是△ABC外一点，则使点P在此三角形所在平面内的射影是△ABC的外心的条件为．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
2
，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求这个四棱锥的体积．

难度：中等

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7．已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（　　）
（1）MN⊥AB；
（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：中等

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8．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2
2
．
（1）求证PO⊥AC；
（2）求二面角P-AC-E的平面角的余弦值．

难度：中等

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9．如图，圆柱OO₁的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO₁的截面，点P在
AB
上且
AP
=
1
3
APB
，Q为PD上任意一点．
（Ⅰ）求证：AQ⊥PB；
（Ⅱ）若线段PD的长为2
3
，求圆柱OO₁的体积．

难度：中等

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10．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是棱CD上的动点，G为C₁D&₁的中点，H为A₁G的中点．
（1）当点F与点D重合时，求证：EF⊥AH；
（2）设二面角C₁-EF-C的大小为θ，试确定F点的位置，使得cosθ=
1
3
．

难度：中等

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