知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湖南模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

难度：中等

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2．（2016•福建模拟）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=
3
．
（Ⅰ）求证：AD⊥BE；
（Ⅱ）若BE=
5
，求三棱锥F-BCD的体积．

难度：中等

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3．（2016•衡阳三模）如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．
（1）证明：EF⊥BD；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

难度：中等

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4．（2016•泰安一模）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

难度：中等

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5．（2016•云南一模）如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥D-ABC的体积．

难度：中等

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6．（2016•广西模拟）如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为
3
的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥CF；
（2）求O到平面ABC的距离．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=
2
AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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8．（2015秋•珠海期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，
（1）求证：AB⊥BH；
（2）求二面角C-OH-F的正弦值．

难度：中等

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9．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点，且满足B₁D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥AE；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDE的体积．

难度：中等

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10．如图（1）示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，如图（2）沿AB将四边形ABCD折起，使得平面ABCD与平面ABE垂直，M为CE的中点．

（Ⅰ）求证：BC∥面DAE；
（Ⅱ）求证：AM⊥BE；
（Ⅲ）求点D到平面BCE的距离．

难度：中等

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