知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． O，N，P在△ABC所在平面内，且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，
NA
+
NB
+
NC
=
0
，且
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，则点O，N，P依次是△ABC的心、心、心（请按顺序填写）．

难度：中等

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2．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2
2
．
（1）求证：D₁E⊥A₁D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D₁-EC-D的大小为
π
4
．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．求证：
（Ⅰ）点H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上．

难度：中等

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4．设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC²-2AC+AB²=0，则
BC
•
AO
的范围是．

难度：较难

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5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=
2
，BC=
3
，AA₁=
2
．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-B的大小．

难度：中等

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6．对于四面体ABCD，下列命题正确的是．（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

难度：较难

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7．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求直线A₁C与侧面BB₁C₁C所成的角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B₁-CD-B的正切值．

难度：中等

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8．如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．
求：
（1）
PM
与
FQ
所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离．

难度：中等

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9．如果锐角△ABC的外接圆的圆心为O，求O到三角形三边的距离之比．

难度：中等

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10．已知△ABC的一边BC在平面M内，从A作平面M的垂线，垂足是A₁，设△ABC的面积是S，它与平面M组成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求证：△A₁BC的面积=S•cosα．

难度：中等

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