知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线 $l%EF%BC%9A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%7D%7By%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D%28t$ 为参数），曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3Dcos%5Ctheta%20%7D%7By%3Dsin%5Ctheta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D%28%CE%B8$ 为参数）．
（1）使判断l与C的位置关系；
（2）若把曲线C₁上个点的横坐标压缩为原来的 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 倍，纵坐标压缩为原来的 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

难度：较易

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2．在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ），C（3，0），动点D满足| $%20%5Coverrightarrow%20%7BCD%7D$ |=1，则| $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOD%7D$ |的最大值是 ______ ．

难度：中等

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3．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线 $l%EF%BC%9A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2%2Btcos%5Calpha%20%7D%7By%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2Btsin%5Calpha%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）与曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2cos%5Ctheta%20%7D%7By%3Dsin%5Ctheta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若 $%CE%B1%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，求线段AB中点M的坐标；
（2）若|PA|•|PB|=|OP|²，其中 $P%282%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，求直线l的斜率．

难度：较易

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4．直线 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D3%2Btsin20%20%5E%5Ccirc%20%20%7D%7By%3D-1%2Btcos20%20%5E%5Ccirc%20%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）的倾斜角是 ______ ．

难度：较易

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5．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c₁： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D3cos%5Calpha%20%7D%7By%3D2sin%5Calpha%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （α为参数）．
（Ⅰ）求曲线c₁的普通方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

难度：易

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6．已知直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D-1%2B3t%7D%7By%3D2-4t%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）求点P（-1，2）到线段AB中点C的距离．

难度：较易

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7．（选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程是： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C横坐标缩短为原来的 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，再向左平移1个单位，得到曲线曲线C₁，求曲线C₁上的点到直线l距离的最小值．

难度：中等

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8．曲线C₁的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dcos%CE%B8%20%5C%5C%20y%3Dsin%CE%B8%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数），将曲线C₁上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 倍，得到曲线C₂．
（Ⅰ）求曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）已知点B（1，1），曲线C₂与x轴负半轴交于点A，P为曲线C₂上任意一点，求|PA|²-|PB|²的最大值．

难度：中等

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9．选修4～4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D1%2Btcos%CE%B1%20%5C%5C%20y%3D2%2Btsin%CE%B1%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位．且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（I）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

难度：难

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10．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%2Bt%20%5C%5C%20y%3D2t%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ= $%20%5Cfrac%20%7B8cos%CE%B8%7D%7Bsin%5E%7B2%7D%CE%B8%7D$ ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

难度：中等

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