知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知\(M\)为曲线\(C:\left\{ \begin{matrix} x=3+\sin \theta \\ y=\cos \theta \\\end{matrix}{ } \right.(\theta \)为参数\()\)上的动点，设\(O\)为原点，则\(\left| OM \right|\)的最大值是\((\) \()\)

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\(3\)

D．\(4\)

难度：较易

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2．

已知曲线的方程为\(\begin{cases} x=2t, \\ y=t \end{cases}(t\)为参数\()\)，则下列点中在曲线上的是\((\)　　\()\)

A．\((1,1)\)

B．\((2,2)\)

C．\((0,0)\)

D．\((1,2)\)

难度：易

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3．

选修\(4—4\)：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2\cos \varphi \\ & y=\sin \varphi \end{cases}(φ\)为参数\()\)，在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C_{2}\)是圆心为\((3,\dfrac{\pi }{2})\)，半径为\(1\)的圆．

\((1)\)求曲线\(C_{1}\)的普通方程，\(C_{2}\)的直角坐标方程；

\((2)\)设\(M\)为曲线\(C_{1}\)上的点，\(N\)为曲线\(C_{2}\)上的点，求\(|MN|\)的取值范围．

难度：较难

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4．
在平面直角坐标系中，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=4\cos θ\)，曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x > 0)\)．

\((1)\)以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率\(k\)为参数，写出曲线\(M\)的参数方程；

\((2)\)设曲线\(C\)与曲线\(M\)的两个交点为\(A\)，\(B\)，求直线\(OA\)与直线\(OB\)的斜率之和．

难度：中等

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5．
在直角坐标系\(xOy\)中，已知曲线\({C}_{1}： \begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ,\end{cases} \) \((\)\(θ \)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)的极坐标方程为\(2\rho \sin \left( \dfrac{\pi }{3}-\theta \right)=\sqrt{3}\)．

\((1)\)若把曲线\(C_{1}\)上各点的横坐标变为原来的\(\sqrt{3}\)倍，纵坐标不变，得到曲线\({{C}_{3}}\)，求曲线\({{C}_{3}}\)的普通方程和曲线\(C_{2}\)的直角坐标方程；

\((2)\)若曲线\(C_{2}\)与曲线\({{C}_{3}}\)相交于\(A\)，\(B\)两点，点\(M(1,0)\)，求\(|MA|+|MB|\)的值．

难度：难

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6．在平面直角坐标系\(xoy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases} \overset{x{=}a\cos{ϕ}}{y{=}b\sin{ϕ}} \end{cases}\ (a{ > }b{ > }0{,}{ϕ}\)为参数\()\)，在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C_{2}\)是圆心在极轴上，且经过极点的圆\({.}\)已知曲线\(C_{1}\)上的点\(M(1{,}\dfrac{\sqrt{3}}{2})\)对应的参数\({ϕ}{=}\dfrac{\pi}{3}\)，射线\(\theta{=}\dfrac{\pi}{3}\)与曲线\(C_{2}\)交于点\(D(1, \dfrac{π}{3}) \)．
\(( \)Ⅰ\() \)求曲线\({C}_{1} \)，\({C}_{2} \)的方程；
\(( \)Ⅱ\() \)若点\(A\left({p}_{1},θ\right) \)，\(B({p}_{2},θ+ \dfrac{π}{2}) \)在曲线\({C}_{1} \)上，求\(\dfrac{1}{{{p}^{2}}_{1}}\_ \dfrac{1}{{{p}^{2}}_{2}} \)的值．

难度：较难

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7．

已知正三角形\(ABC\)的边长为\(2\sqrt{3}\)，平面\(ABC\)内的动点\(P\)，\(M\)满足\(|\overrightarrow{{AP}}|=1\)，\(\overrightarrow{{PM}}=\overrightarrow{{MC}}\)，则\(|\overrightarrow{{BM}}|^{2}\)的最大值是____\(.\)

难度：较难

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8．

在直角坐标系\(xOy \)中，曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos θ \\ y=4\sin θ\end{cases} (θ \)为参数\()\)，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+t\cos α \\ y=2+t\sin α\end{cases} (t\)为参数\()\)．

\((1)\)求\(C\)和\(l\)的直角坐标方程；

\((2)\)若曲线\(C\)截直线\(l\)所得线段的中点坐标为\(\left(1,2\right) \)，求\(l\)的斜率．

难度：中等

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9．
\((i)\)选修：坐标系与参数方程

在直角坐标系\(xOy\)中，圆\(C\)的参数方程\(\begin{cases} x=1+\cos \varphi \\ y=\sin \varphi \end{cases}(\varphi \)为参数\().\)以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求\(C\)的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)的极坐标方程是\(2\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})=3\sqrt{3}.\)记射线\(OM\)：\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)与\(C\)分别交于点\(O\)，\(P\)，与\(l\)交于点\(Q\)，求\(PQ\)的长．

\((ii)\)选修：不等式选讲

已知函数\(f(x)=|x+2|-|x+a|\)

\((\)Ⅰ\()\)当\(a=3\)时，解不等式\(f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}\)；

\((\)Ⅱ\()\)若关于\(x\)的不等式\(f(x)\leqslant a\)解集为\(R\)，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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10．

若以直角坐标系的原点为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段\(y=2-x(0\leqslant x\leqslant 2)\)的极坐标方程为( )

A．\(\rho =\dfrac{2}{\cos \theta +\sin \theta }\)，\(0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{2}\)

B．\(\rho =\dfrac{2}{\cos \theta +\sin \theta }\)，\(0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4}\)

C．\(ρ=\cos θ+\sin θ\)，\(0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{2}\)

D．\(ρ=\cos θ+\sin θ\)，\(0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4}\)

难度：中等

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