知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c，d都是正实数，且a+b+c+d=1，求证： $\text{[math]}$ ．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．（Ⅰ）已知x²+y²=1，求2x+3y的取值范围；
（Ⅱ）已知a²+b²+c²﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证： $\text{[math]}$ ．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在 $\text{[math]}$ 上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m ．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．已知a，b，c均为正数．
（Ⅰ）求证：a²+b²+（ $\text{[math]}$ ）²≥4 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证： $\text{[math]}$ ≥100．

难度：中等

解析收藏试题篮
5．已知正实数a，b，c为三角形的三边长，求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞2．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．设a，b，c∈R，证明：a²+b²+c²≥ab+ac+bc．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．已知a＞0，求证： $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ≥a+ $\text{[math]}$ ﹣2．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．已知a+b+c=2，且a、b、c是正数，求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．

难度：中等

解析收藏试题篮
9． [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=
1
1
，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
π
2
)，直线l过点A且倾斜角为
π
4
，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求证：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
A、（选修4-1：几何证明选讲）
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB²=AE•AD
B、（选修4-2：矩形与变换）
已知a，b实数，如果矩阵M=
1 a
b 2
所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
D、（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷