知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=ax³+bx²在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y-10=0，且对任意的x∈[0，+∞）f′（x）≤kln（x+1）恒成立．
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明：
n
i=1
1
i
＜ln(n+1)+2(n∈N•)．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（
b
a
）．

难度：较难

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3．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

难度：较难

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4．设a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+
c2
2
≤
1
2
；
（Ⅱ）求证：
a2+c2
b
+
b2+a2
c
+
c2+b2
a
≥2．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

难度：较难

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6．已知a，b为实数，证明：（a⁴+b⁴）（a²+b²）≥（a³+b³）²．

难度：较难

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7．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|
（1）设S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜
5
6
成立．

难度：较难

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8．（选做题）已知a，b，c为正实数，且a，b，c∈(1，
7
)．
（Ⅰ）证明：
1
a2-1
+
1
7-a2
≥
2
3
；
（Ⅱ）求
1
(a2-1)(7-b2)
+
1
(b2-1)(7-c2)
+
1
(c2-1)(7-a2)
的最小值．

难度：较难

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9．选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
1 2
2 a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
x=2pt2
y=2pt
（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．

难度：中等

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10．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=
1 2
2 1
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M¹⁰⁰β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

难度：难

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